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线性方程组 (Linear Equations)

线性方程组的核心是理解解空间结构：何时有解、解有几个自由度、如何高效计算。

1. 基本模型​

一般写作

Ax=b,A∈Fm×n, x∈Fn. A\mathbf{x}=\mathbf{b},\quad A\in\mathbb{F}^{m\times n},\ \mathbf{x}\in\mathbb{F}^n.

对应增广矩阵 [A∣b][A\mid \mathbf{b}]。

2. Rouché-Capelli 判别定理​

记 r(A)r(A) 为系数矩阵秩，r(A,b)r(A,\mathbf{b}) 为增广矩阵秩，则：

  1. 无解：r(A)<r(A,b)r(A)<r(A,\mathbf{b})。
  2. 有解：r(A)=r(A,b)r(A)=r(A,\mathbf{b})。
  3. 在有解前提下：
    • 唯一解：r(A)=nr(A)=n；
    • 无穷多解：r(A)=r(A,b)<nr(A)=r(A,\mathbf{b})<n，自由变量个数为 n−r(A)n-r(A)。

3. 齐次线性方程组​

对

Ax=0 A\mathbf{x}=\mathbf{0}

总有零解。若 r(A)<nr(A)<n，则存在非零解，解空间维数为

dim⁡N(A)=n−r(A) \dim\mathcal{N}(A)=n-r(A)

（秩-零空间维数定理）。

结构理解

非齐次方程组的解集 = 任一特解 + 对应齐次方程组的通解。

4. 高斯消元与阶梯形​

初等行变换不改变方程组解集。实际计算步骤：

  1. 通过消元得到行阶梯形矩阵。
  2. 回代求主变量。
  3. 把非主变量视为参数，写出通解。

时间复杂度通常为 O(n3)O(n^3)（方阵情形）。

5. 例题​

例 1：判定有解性与解的个数​

讨论参数 kk 下方程组

{x+y+z=1x+2y+3z=22x+3y+(k+2)z=3 \begin{cases} x+y+z=1\\ x+2y+3z=2\\ 2x+3y+(k+2)z=3 \end{cases}

的解的情况。

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增广矩阵经消元：

  • R2←R2−R1R_2\leftarrow R_2-R_1 得 (0,1,2∣1)(0,1,2|1)；
  • R3←R3−2R1R_3\leftarrow R_3-2R_1 得 (0,1,k∣1)(0,1,k|1)；
  • R3←R3−R2R_3\leftarrow R_3-R_2 得 (0,0,k−2∣0)(0,0,k-2|0)。

因此：

  • k≠2k\neq 2 时，三主元，唯一解；
  • k=2k=2 时，秩为 2，小于未知数个数 3，有无穷多解。

例 2：写出通解​

求解齐次系统

{x+2y−z=02x+4y−2z=0 \begin{cases} x+2y-z=0\\ 2x+4y-2z=0 \end{cases}
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第二行是第一行 2 倍，秩为 1。设 y=s,z=ty=s, z=t，则

x=−2s+t.x=-2s+t.

通解

x=s(−210)+t(101),s,t∈F. \mathbf{x}=s\begin{pmatrix}-2\\1\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix},\quad s,t\in\mathbb{F}.

6. 常见误区​

  1. 只看 r(A)r(A) 不看 r(A,b)r(A,\mathbf{b}) 就判断有解性。
  2. 将“未知数个数”误写为“方程个数”来判唯一解。
  3. 通解遗漏参数取值范围，或基向量线性相关。

7. 配套练习​

  1. 判定并求解：
{x+y+z=22x+3y+4z=73x+4y+5z=9 \begin{cases} x+y+z=2\\ 2x+3y+4z=7\\ 3x+4y+5z=9 \end{cases}
  1. 对参数 aa 讨论：
{x+y=1ax+y=a \begin{cases} x+y=1\\ ax+y=a \end{cases}
  1. 求齐次系统 Ax=0A\mathbf{x}=0 的基础解系：
A=(11022215). A=\begin{pmatrix} 1&1&0&2\\ 2&2&1&5 \end{pmatrix}.

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