特征值、特征向量与 Jordan 标准形

本章按“特征值计算-对角化判定-Jordan 分解”组织，目标是把线性变换的结构看清楚。

1. 特征值与特征向量

设 $A\in M_n(\mathbb{F})$。若存在非零向量 $v$ 与标量 $\lambda$ 使

$$Av=\lambda v,$$

则称 $\lambda$ 为 $A$ 的特征值，$v$ 为对应特征向量。

等价条件：

$$\det(\lambda I-A)=0.$$

该多项式称为特征多项式。

例题 1：快速求上三角矩阵特征值

设

$$A=\begin{pmatrix} 2&1&0\\ 0&2&3\\ 0&0&-1 \end{pmatrix}.$$

求特征值及代数重数。

解：上三角矩阵的特征值就是对角元，故特征值为 $2,2,-1$。
其中 $\lambda=2$ 的代数重数为 2，$\lambda=-1$ 的代数重数为 1。

2. 几何重数与可对角化判定

对特征值 $\lambda$，其特征子空间为

$$E_\lambda=\ker(A-\lambda I),$$

维数称为几何重数。

• 几何重数 $\le$ 代数重数。
• 矩阵可对角化，当且仅当所有特征子空间维数之和为 $n$。
• 等价说法：存在 $n$ 个线性无关特征向量。

例题 2：判定是否可对角化

设

$$A=\begin{pmatrix} 1&1\\ 0&1 \end{pmatrix}.$$

判断是否可对角化。

解：特征多项式

$$p_A(\lambda)=(\lambda-1)^2.$$

仅有特征值 1，代数重数 2。
求特征向量：

$$(A-I)x=0\Rightarrow \begin{pmatrix} 0&1\\ 0&0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}=0 \Rightarrow x_2=0.$$

故特征子空间维数为 1，小于 2，因此不可对角化。

3. 最小多项式与结构信息

最小多项式 $m_A(x)$ 是满足 $m_A(A)=0$ 的首一多项式中次数最低者，且 $m_A(x)\mid p_A(x)$。

• 若 $m_A(x)$ 无重因式，则 $A$ 可对角化（在分裂域上）。
• Jordan 块大小由最小多项式中对应因子的指数控制。

例题 3：由最小多项式判断可对角化

设矩阵 $A$ 满足

$$m_A(x)=(x-1)(x+2),\quad p_A(x)=(x-1)^2(x+2).$$

判断 $A$ 是否可对角化。

解：$m_A(x)$ 没有重因式，因此 $A$ 可对角化。
这说明即使特征多项式有重根，只要最小多项式无重因式，仍可对角化。

4. Jordan 标准形

广义特征向量与循环子空间

当代数重数大于几何重数时，普通特征向量不足以张成整个空间。我们需要 广义特征向量 (Generalized Eigenvectors)。 若存在 $v \neq 0$ 使 $(A-\lambda I)^k v = 0$，则称 $v$ 为 $\lambda$ 的 $k$ 阶广义特征向量。

由广义特征向量构成的链 $\{ (A-\lambda I)^{k-1}v, \dots, (A-\lambda I)v, v \}$ 张成的子空间称为 循环子空间，它在 $A$ 下是不变的。在适当的基下，$A$ 在该子空间上的矩阵就是一个 Jordan 块 $J_k(\lambda)$。

Jordan 标准形的计算步骤

1. 求特征值：解 $\det(\lambda I - A) = 0$。
2. 确定每个特征值的 Jordan 块分布：
   • 特征值 $\lambda$ 的 Jordan 块总个数 $= \dim\ker(A-\lambda I)$（几何重数）。
   • 阶数 $\ge k$ 的 Jordan 块个数 $= \dim\ker(A-\lambda I)^k - \dim\ker(A-\lambda I)^{k-1}$。
   • 最大的 Jordan 块阶数 $=$ $\lambda$ 在最小多项式 $m_A(x)$ 中的幂次。

例题 4：由核维数确定 Jordan 块个数

已知 $A$ 的唯一特征值为 $\lambda=3$，且

$$\dim\ker(A-3I)=2,\quad \dim\ker((A-3I)^2)=3,\quad n=3.$$

求 Jordan 形。

解：$\dim\ker(A-3I)=2$ 表示 Jordan 块个数为 2。
总维数 3，只能是大小 $2+1$ 两块。
因此

$$J=\operatorname{diag}(J_2(3),J_1(3)).$$

5. $A^k$ 与 $e^{At}$ 的结构化计算

若 $A=PJP^{-1}$，则

$$A^k=PJ^kP^{-1},\quad e^{At}=Pe^{Jt}P^{-1}.$$

对 Jordan 块有

$$J_k(\lambda)=\lambda I+N,\quad N^k=0,$$

可用二项式展开：

$$J_k(\lambda)^m=\sum_{r=0}^{k-1}\binom{m}{r}\lambda^{m-r}N^r.$$

例题 5：计算 Jordan 块幂

设

$$J=\begin{pmatrix} 2&1\\ 0&2 \end{pmatrix}=2I+N,\quad N^2=0.$$

求 $J^m$。

解：

$$J^m=(2I+N)^m=2^mI+m2^{m-1}N =\begin{pmatrix} 2^m&m2^{m-1}\\ 0&2^m \end{pmatrix}.$$

6. 配套练习（折叠答案）

练习 1：特征值与特征向量

求矩阵

$$A=\begin{pmatrix} 4&0\\ 1&3 \end{pmatrix}$$

的特征值，并给出每个特征值的一组特征向量。

点击查看过程与答案

$$p_A(\lambda)=\det(\lambda I-A)=(\lambda-4)(\lambda-3).$$

故特征值为 4 与 3。

• $\lambda=4$：$(A-4I)x=0$，得 $x_1=x_2$，可取特征向量 $(1,1)^T$。
• $\lambda=3$：$(A-3I)x=0$，得 $x_1=0$，可取特征向量 $(0,1)^T$。

练习 2：可对角化判定

设

$$A=\begin{pmatrix} 5&1&0\\ 0&5&0\\ 0&0&2 \end{pmatrix}.$$

判断 $A$ 是否可对角化。

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特征值为 $5,5,2$。对 $\lambda=5$，

$$A-5I=\begin{pmatrix} 0&1&0\\ 0&0&0\\ 0&0&-3 \end{pmatrix},$$

解得特征空间维数为 1（$x_2=0,x_3=0$，$x_1$ 自由）。
故几何重数小于代数重数 2，矩阵不可对角化。

练习 3：最小多项式深度分析

已知 4 阶矩阵 $A$ 满足 $A^2=A$。求 $A$ 的所有可能的最小多项式，并证明 $A$ 必可对角化。

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因为 $A^2-A=0$，故 $A$ 满足多项式 $f(x) = x(x-1) = 0$。 最小多项式 $m_A(x)$ 必能整除 $f(x)$。 可能的 $m_A(x)$ 为：

1. $m_A(x) = x$ (此时 $A=0$)
2. $m_A(x) = x-1$ (此时 $A=I$)
3. $m_A(x) = x(x-1)$

在所有情况下，$m_A(x)$ 都没有重因式。 由判定定理：矩阵可对角化当且仅当其最小多项式无重根。 故 $A$ 必可对角化。这种矩阵称为 幂等矩阵 (Idempotent Matrix)，物理上对应投影算子。

练习 4：Jordan 形结构判断

设 6 阶矩阵 $A$ 的特征多项式为 $p_A(x) = (x-2)^6$，最小多项式为 $m_A(x) = (x-2)^3$。 已知 $\dim \ker(A-2I) = 3$。求 $A$ 的 Jordan 标准形。

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1. $\dim \ker(A-2I) = 3$ 说明共有 3 个 Jordan 块。
2. $m_A(x) = (x-2)^3$ 说明最大的 Jordan 块阶数为 3。
3. 设三块的阶数分别为 $n_1, n_2, n_3$。
   • $n_1 + n_2 + n_3 = 6$
   • $\max(n_1, n_2, n_3) = 3$
   • $n_i \ge 1$

可能的组合只有 $3+2+1=6$。 因此 Jordan 标准形为： $J = \operatorname{diag}(J_3(2), J_2(2), J_1(2)).$

练习 5：广义特征向量链

设 $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$。求一组基使 $A$ 为 Jordan 形。

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特征值为 2。$(A-2I) = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$。 取 $v_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$。 计算 $v_1 = (A-2I)v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$。 注意 $v_1$ 是特征向量，$(A-2I)v_1 = 0$。 故 $\{v_1, v_2\}$ 构成一条 Jordan 链。 在此基下，矩阵即为 $\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$。