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复合函数：分解与判定

练习 1：函数分解实战​

将下列复合函数分解为若干层简单函数（初等函数）：

  1. y=cos⁡3(x2+1)y = \cos^3(x^2 + 1)
  2. y=log⁡a(x+sin⁡x)y = \log_a(\sqrt{x} + \sin x)
  3. y=etan⁡(1/x)y = e^{\tan(1/x)}

练习 2：定义域的复合判定​

求下列函数的定义域：

  1. y=ln⁡xy = \sqrt{\ln x}
  2. y=arcsin⁡(2x−1)y = \arcsin(2x - 1)
  3. y=ln⁡(sin⁡x)y = \ln(\sin x)

练习 3：复合函数的合法性​

设 f(x)=1−xf(x) = \sqrt{1-x}，g(x)=x2g(x) = x^2。

  1. f(g(x))f(g(x)) 的定义域是什么？
  2. g(f(x))g(f(x)) 的定义域是什么？
  3. 这两个复合函数在它们的交集定义域上是否相等？

🚀 进阶挑战​

设 f(x)={1,x∈Q0,x∉Qf(x) = \begin{cases} 1, & x \in \mathbb{Q} \\ 0, & x \notin \mathbb{Q} \end{cases} (Dirichlet 函数)。 求 f(f(x))f(f(x)) 的解析式。