行列式 (Determinant)

行列式把一个 $n$ 阶方阵映射为一个标量，刻画线性变换对有向体积的伸缩比例；$|A|=0$ 当且仅当变换把空间压扁（矩阵不可逆）。

1. 定义与基本计算

设

$$A=(a_{ij})_{n\times n},\quad |A|=\sum_{\sigma\in S_n}\operatorname{sgn}(\sigma)\prod_{i=1}^n a_{i,\sigma(i)}.$$

低阶行列式：

• 二阶：$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad-bc$。
• 三阶可用按行展开或 Sarrus 法（仅适用于三阶）。

几何意义

二维中 $|A|$ 是面积缩放倍数；三维中 $|A|$ 是体积缩放倍数。符号正负表示定向是否翻转。

2. 基本性质（教材常用）

1. $|A^T|=|A|$。
2. 交换两行（列），行列式变号。
3. 某一行（列）乘 $k$，行列式乘 $k$。
4. 把一行（列）的 $k$ 倍加到另一行（列），行列式不变。
5. 若两行（列）成比例，则行列式为 0。
6. 上三角（下三角）矩阵行列式等于对角线元素之积。
7. $|AB|=|A||B|$，从而 $|A^{-1}|=1/|A|$（若可逆）。

3. 代数余子式与 Laplace 展开

记 $M_{ij}$ 为删去第 $i$ 行第 $j$ 列后的余子式，$A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$ 为代数余子式，则

$$|A|=\sum_{j=1}^n a_{ij}A_{ij}=\sum_{i=1}^n a_{ij}A_{ij}.$$

按“零多的行/列”展开可大幅降低计算量。

4. 伴随矩阵与逆矩阵

设 $A^*$ 为伴随矩阵（代数余子式矩阵的转置），则

$$AA^*=A^*A=|A|I_n.$$

若 $|A|\neq 0$，

$$A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^*.$$

5. 克拉默法则与适用边界

对于 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 且 $|A|\neq 0$，唯一解满足

$$x_i=\frac{|A_i|}{|A|},$$

其中 $A_i$ 把第 $i$ 列替换成常数列 $\mathbf{b}$。

方法选择

克拉默法则适合理论推导与小规模手算；规模较大时优先高斯消元（复杂度更可控）。

6. 例题

例 1：参数判定

求参数 $a$ 使矩阵

$$A=\begin{pmatrix} 1&1&1\\ 1&a&1\\ 1&1&a \end{pmatrix}$$

可逆。

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沿第一行展开：

$$|A|=(a-1)^2.$$

故 $A$ 可逆当且仅当 $a\neq 1$。

例 2：利用行变换求值

计算

$$D=\begin{vmatrix} 1&2&3\\ 2&5&8\\ 1&1&1 \end{vmatrix}.$$

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作行变换 $R_2\leftarrow R_2-2R_1,\ R_3\leftarrow R_3-R_1$：

$$D=\begin{vmatrix} 1&2&3\\ 0&1&2\\ 0&-1&-2 \end{vmatrix}=0.$$

结论：$D=0$。

7. 配套练习

1. 设 $A$ 为 3 阶矩阵且 $|A|=-2$，求 $|3A^T|$。
2. 设 $|A|=2, |B|=-3$，求 $|AB^{-1}|$。
3. 用按行展开计算 $\begin{vmatrix} 2&0&1\\ -1&3&2\\ 0&4&1 \end{vmatrix}$。

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