高等代数练习

本页按“基础-提高-挑战”组织；每题均提供折叠解析，点击可展开过程与答案。

A. 基础题

练习 A1：矩阵秩

计算矩阵

$$A=\begin{pmatrix} 1&2\\ 2&4 \end{pmatrix}$$

的秩。

点击查看解析与答案

行变换 $R_2\leftarrow R_2-2R_1$，得

$$\begin{pmatrix} 1&2\\ 0&0 \end{pmatrix}.$$

非零行数为 1，故 $\operatorname{rank}(A)=1$。

练习 A2：行列式性质

已知 $|A|=-3$，求 $|2A^T|$（$A$ 为 3 阶矩阵）。

点击查看解析与答案

$|A^T|=|A|=-3$，且 $|2A^T|=2^3|A^T|=8\times(-3)=-24$。

练习 A3：克拉默法则

求解方程组

$$\begin{cases} 2x+y=5\\ x-y=1 \end{cases}$$

点击查看解析与答案

系数行列式

$$D=\begin{vmatrix}2&1\\1&-1\end{vmatrix}=-3\neq0.$$$$D_x=\begin{vmatrix}5&1\\1&-1\end{vmatrix}=-6,\quad D_y=\begin{vmatrix}2&5\\1&1\end{vmatrix}=-3.$$

故

$$x=D_x/D=2,\ y=D_y/D=1.$$

B. 提高题

练习 B1：参数方程组讨论

讨论参数 $a$ 下方程组

$$\begin{cases} x+y+z=1\\ x+2y+az=2\\ 2x+3y+(a+1)z=3 \end{cases}$$

的解的情况。

点击查看解析与答案

增广矩阵消元：

• $R_2\leftarrow R_2-R_1\Rightarrow(0,1,a-1|1)$；
• $R_3\leftarrow R_3-2R_1\Rightarrow(0,1,a-1|1)$；
• $R_3\leftarrow R_3-R_2\Rightarrow(0,0,0|0)$。

故始终有解，且秩为 2。未知数 3 个，故总是无穷多解（1 个自由变量）。

练习 B2：基础解系

求齐次系统

$$\begin{cases} x_1+x_2+x_4=0\\ 2x_1+x_2+x_3+3x_4=0 \end{cases}$$

的基础解系。

点击查看解析与答案

由第一式 $x_1=-x_2-x_4$，代入第二式得

$$- x_2 + x_3 + x_4 =0\Rightarrow x_3=x_2-x_4.$$

令 $x_2=s, x_4=t$，则

$$\mathbf{x}=s\begin{pmatrix}-1\\1\\1\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}-1\\0\\-1\\1\end{pmatrix}.$$

基础解系可取

$$\left\{(-1,1,1,0)^T,\ (-1,0,-1,1)^T\right\}.$$

练习 B3：二次型定性

判断二次型

$$Q=3x_1^2+2x_1x_2+2x_2^2$$

的定性。

点击查看解析与答案

对应矩阵

$$A=\begin{pmatrix}3&1\\1&2\end{pmatrix}.$$

顺序主子式

$$\Delta_1=3>0,\quad \Delta_2=6-1=5>0.$$

故 $Q$ 正定。

C. 挑战题

练习 C1：合同变换与惯性指数

设实对称矩阵

$$A=\begin{pmatrix} 1&1&0\\ 1&1&0\\ 0&0&-2 \end{pmatrix}.$$

求对应二次型的秩与惯性指数 $(p,q)$。

点击查看解析与答案

前两维部分对应矩阵

$$\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}$$

秩为 1，可化为 $2y_1^2$；第三维为 $-2y_3^2$。 故标准形含一个正平方项、一个负平方项，另有一个零项。

结论：

• 秩 $r=2$；
• 惯性指数 $(p,q)=(1,1)$。

练习 C2：行列式与逆矩阵

已知 3 阶矩阵 $A$ 满足 $|A|=4$，求 $|A^*|$ 与 $|A^{-1}|$。

点击查看解析与答案

对 $n$ 阶矩阵有 $|A^*|=|A|^{n-1}$。这里 $n=3$，故

$$|A^*|=4^2=16.$$

又

$$|A^{-1}|=\frac{1}{|A|}=\frac14.$$

D. 矩阵与多项式专题加练

练习 D1：伴随矩阵行列式

设 $A$ 为 4 阶可逆矩阵，且 $|A|=-2$，求 $|A^*|$。

点击查看解析与答案

$n$ 阶矩阵满足 $|A^*|=|A|^{n-1}$。 这里 $n=4$，故

$$|A^*|=(-2)^3=-8.$$

练习 D2：特征多项式

求矩阵

$$A=\begin{pmatrix}1&2\\0&3\end{pmatrix}$$

的特征多项式与特征值。

点击查看解析与答案

$$p_A(\lambda)=\det(\lambda I-A)=\begin{vmatrix}\lambda-1&-2\\0&\lambda-3\end{vmatrix}=(\lambda-1)(\lambda-3).$$

故特征值为 $1,3$。

练习 D3：重根与导数

判定 $x=1$ 是否为

$$f(x)=x^4-2x^3+2x-1$$

的重根。

点击查看解析与答案

先算

$$f(1)=1-2+2-1=0.$$

再算

$$f'(x)=4x^3-6x^2+2,\quad f'(1)=4-6+2=0.$$

因此 $x=1$ 至少是二重根。继续算

$$f''(x)=12x^2-12x,\ f''(1)=0,$$$$f^{(3)}(x)=24x-12,\ f^{(3)}(1)=12\neq0,$$

故为三重根。

练习 D4：插值构造

构造一个二次多项式 $p(x)$，满足

$$p(0)=1,\ p(1)=3,\ p(2)=7.$$

点击查看解析与答案

设 $p(x)=ax^2+bx+c$。 由 $p(0)=1$ 得 $c=1$。 由 $p(1)=3$ 得 $a+b+1=3\Rightarrow a+b=2$。 由 $p(2)=7$ 得 $4a+2b+1=7\Rightarrow 2a+b=3$。 联立解得 $a=1,b=1$。 故

$$p(x)=x^2+x+1.$$

E. 向量空间与线性变换专题加练

练习 E1：子空间判定与维数

在 $\mathbb{R}^4$ 中，设

$$U=\{(x_1,x_2,x_3,x_4)\mid x_1+x_2=0,\ x_3-x_4=0\}.$$

判断 $U$ 是否为子空间，并求其维数。

点击查看解析与答案

$U$ 由齐次线性方程组给出，必为子空间。由约束得

$$x_1=-x_2,\quad x_3=x_4.$$

令 $x_2=s,x_4=t$，则

$$(x_1,x_2,x_3,x_4)=s(-1,1,0,0)+t(0,0,1,1).$$

故 $\dim U=2$，一组基可取

$$\{(-1,1,0,0),(0,0,1,1)\}.$$

练习 E2：线性映射核与像

设 $T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3$，

$$T(x,y,z)=(x-y,\ y-z,\ x-z).$$

求 $\ker T$ 与 $\operatorname{rank}(T)$。

点击查看解析与答案

核满足

$$x-y=0,\ y-z=0,\ x-z=0,$$

即 $x=y=z=t$。所以

$$\ker T=\operatorname{span}\{(1,1,1)\},\quad \dim\ker T=1.$$

由秩-零空间维数定理，域维数为 3，故

$$\operatorname{rank}(T)=3-1=2.$$

练习 E3：基下矩阵表示

在 $P_2(\mathbb{R})$ 上定义 $T(p)=xp'(x)$。取标准基 $\mathcal{B}=\{1,x,x^2\}$，求 $[T]_{\mathcal{B}}$。

点击查看解析与答案

$$T(1)=0,\quad T(x)=x,\quad T(x^2)=2x^2.$$

对应坐标列向量分别为

$$(0,0,0)^T,\ (0,1,0)^T,\ (0,0,2)^T.$$

故

$$[T]_{\mathcal{B}}=\begin{pmatrix} 0&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&2 \end{pmatrix}.$$

练习 E4：维数公式综合

设 $V=\mathbb{R}^5$，子空间 $U,W$ 满足

$$\dim U=3,\quad \dim W=4,\quad \dim(U\cap W)=2.$$

求 $\dim(U+W)$，并判断是否必有 $U+W=V$。

点击查看解析与答案

由维数公式：

$$\dim(U+W)=\dim U+\dim W-\dim(U\cap W)=3+4-2=5.$$

又 $\dim V=5$，故 $U+W$ 与 $V$ 同维且 $U+W\subseteq V$，因此

$$U+W=V.$$

练习 E5：线性变换可逆性判定

设线性映射 $T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$，

$$T(x,y)=(2x+y,\ 4x+2y).$$

判断 $T$ 是否可逆。

点击查看解析与答案

对应矩阵

$$A=\begin{pmatrix}2&1\\4&2\end{pmatrix},\quad \det A=2\cdot2-4\cdot1=0.$$

行向量线性相关，秩为 1，不满秩，故 $T$ 不可逆。

F. 特征值与 Jordan 标准形专题加练

练习 F1：特征值与特征子空间

设

$$A=\begin{pmatrix} 2&0&0\\ 0&2&1\\ 0&0&2 \end{pmatrix}.$$

求特征值及 $\dim E_2$。

点击查看解析与答案

唯一特征值为 2（代数重数 3）。

$$A-2I=\begin{pmatrix} 0&0&0\\ 0&0&1\\ 0&0&0 \end{pmatrix}$$

方程 $(A-2I)x=0$ 给出 $x_3=0$，$x_1,x_2$ 自由。 故

$$\dim E_2=2.$$

练习 F2：可对角化判定

设

$$A=\begin{pmatrix} 1&1&0\\ 0&1&0\\ 0&0&3 \end{pmatrix}.$$

判断是否可对角化。

点击查看解析与答案

特征值为 1（代数重数 2）与 3（代数重数 1）。 对 $\lambda=1$：

$$A-I=\begin{pmatrix} 0&1&0\\ 0&0&0\\ 0&0&2 \end{pmatrix},$$

故特征子空间维数为 1。于是总特征向量数不足 3， 矩阵不可对角化。

练习 F3：最小多项式识别

设

$$A=\begin{pmatrix} 0&1\\ 0&0 \end{pmatrix}.$$

求 $m_A(x)$。

点击查看解析与答案

有

$$A^2=0,\ A\neq0.$$

因此最低次首一湮灭多项式为

$$m_A(x)=x^2.$$

练习 F4：Jordan 块与核维数

设 5 阶矩阵 $A$ 的唯一特征值为 4，且

$$\dim\ker(A-4I)=2, \quad \dim\ker((A-4I)^2)=4, \quad \dim\ker((A-4I)^3)=5.$$

写出 Jordan 块大小。

点击查看解析与答案

块个数是 $\dim\ker(A-4I)=2$。核维数增长量依次为 $2,2,1$，说明两块中一块长度至少 3，另一块长度至少 2，总和为 5。 故块大小为

$$3+2.$$

即 Jordan 形为 $\operatorname{diag}(J_3(4),J_2(4))$。

练习 F5：Jordan 块幂计算

设

$$J=\begin{pmatrix} \lambda&1\\ 0&\lambda \end{pmatrix}.$$

求 $J^n$。

点击查看解析与答案

记 $J=\lambda I+N$，其中

$$N=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix},\ N^2=0.$$

则

$$J^n=(\lambda I+N)^n=\lambda^n I+n\lambda^{n-1}N =\begin{pmatrix} \lambda^n&n\lambda^{n-1}\\ 0&\lambda^n \end{pmatrix}.$$

J. 数值模拟与验证练习

练习 J1：[数值] 幂次变换与稳态分析

设线性变换 $T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ 的矩阵为 $A = \begin{pmatrix} 0.8 & 0.3 \\ 0.2 & 0.7 \end{pmatrix}$（这是一个随机矩阵）。编写 C++ 程序计算 $A^n v$ 当 $n \to \infty$ 时的趋势，并验证其是否收敛到特征值为 1 的特征向量方向。

点击查看 C++ 参考实现与解析

解析：该矩阵的特征值为 1 和 0.5。由于 1 是最大特征值，迭代 $A^n v$ 会趋向于特征值为 1 的特征空间（即稳态）。

#include <iostream>
#include <vector>
#include <iomanip>

int main() {
    double x = 100.0, y = 0.0; // 初始向量
    double A[2][2] = {{0.8, 0.3}, {0.2, 0.7}};
    
    std::cout << "Iter\tx\t\ty" << std::endl;
    std::cout << "-----------------------------------" << std::endl;
    for (int i = 0; i <= 20; ++i) {
        std::cout << i << "\t" << std::fixed << std::setprecision(5) 
                  << x << "\t" << y << std::endl;
        
        double next_x = A[0][0] * x + A[0][1] * y;
        double next_y = A[1][0] * x + A[1][1] * y;
        x = next_x;
        y = next_y;
    }
    
    std::cout << "\n稳态比值 x/y 应接近 0.3/0.2 = 1.5" << std::endl;
    return 0;
}

练习 H1：双线性型的度量矩阵

在 $P_1(\mathbb{R})$（一次多项式空间）上，定义双线性型： $B(p, q) = \int_0^1 p(x)q(x) dx.$ 求 $B$ 在基 $\{1, x\}$ 下的度量矩阵。

点击查看解析与答案

计算度量矩阵 $A = (a_{ij})$：

• $a_{11} = B(1, 1) = \int_0^1 1 dx = 1$
• $a_{12} = B(1, x) = \int_0^1 x dx = 1/2$
• $a_{21} = B(x, 1) = 1/2$
• $a_{22} = B(x, x) = \int_0^1 x^2 dx = 1/3$

故度量矩阵为： $A = \begin{pmatrix} 1 & 1/2 \\ 1/2 & 1/3 \end{pmatrix}.$

练习 H2：反对称双线性型的秩

证明：若 $B$ 是 $n$ 维空间 $V$ 上的交错双线性型（即 $B(v, v) = 0, \forall v \in V$），则 $\operatorname{rank}(B)$ 必为偶数。

点击查看解析与答案

交错双线性型对应的度量矩阵 $A$ 是反对称矩阵（$A^T = -A$）。 反对称矩阵的秩必为偶数是一个经典结论。 证明思路：利用合同变换，交错型必可化为如下标准形： $\operatorname{diag}\left( \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}, \dots, \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}, 0, \dots, 0 \right).$ 每一个 $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$ 块贡献 2 个单位的秩，其余部分为 0。 故总秩必为偶数。

练习 H3：正定二次型的判别

设 $A, B$ 都是 $n$ 阶正定矩阵。问 $A+B$ 是否一定正定？$AB$ 是否一定正定？

点击查看解析与答案

1. $A+B$ 必正定： 对任意 $x \neq 0$，$x^T(A+B)x = x^TAx + x^TBx$。 由于 $A, B$ 正定，故 $x^TAx > 0$ 且 $x^TBx > 0$，所以 $x^T(A+B)x > 0$。
2. $AB$ 不一定正定： 甚至 $AB$ 可能不是对称矩阵。只有当 $AB=BA$ 时，$AB$ 才是对称的且正定。 反例：$A = \begin{pmatrix} 1 & 0.5 \\ 0.5 & 1 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$。 $AB = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0.5 & 2 \end{pmatrix}$，不对称，故不谈论其（矩阵意义上的）正定性。

练习 H4：双线性型的退化性

设 $B(x, y) = x^T A y$。证明：$B$ 非退化当且仅当 $\det(A) \neq 0$。

点击查看解析与答案

$B$ 非退化定义为：若 $B(x, y) = 0$ 对所有 $y$ 成立，则 $x=0$。 即 $x^T A y = 0, \forall y \Rightarrow x^T A = 0$。 这等价于齐次线性方程组 $A^T x = 0$ 只有零解。 根据克拉默法则，这等价于 $\det(A^T) \neq 0$，即 $\det(A) \neq 0$。