Cayley-Hamilton 定理与有理标准形

本章聚焦“矩阵多项式消去-循环子空间分解-有理标准形”，用于在一般域上刻画线性算子的代数结构。

1. Cayley-Hamilton 定理

设 $A\in M_n(\mathbb{F})$，其特征多项式为

$$p_A(\lambda)=\det(\lambda I-A).$$

Cayley-Hamilton 定理指出：

$$p_A(A)=0.$$

这给出矩阵的一个显式湮灭多项式，可用于降幂与求逆。

例题 1：用 CH 定理降幂

设

$$A=\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}.$$

求 $A^5$。

解：

$$p_A(\lambda)=\lambda^2-\lambda-1,$$

故

$$A^2=A+I.$$

递推得

$$A^3=2A+I,\ A^4=3A+2I,\ A^5=5A+3I.$$

所以

$$A^5=\begin{pmatrix}8&5\\5&3\end{pmatrix}.$$

2. 最小多项式与不变因子

最小多项式 $m_A(x)$ 是满足 $m_A(A)=0$ 的最低次首一多项式，且

$$m_A(x)\mid p_A(x).$$

若将 $\mathbb{F}^n$ 视为 $\mathbb{F}[x]$-模，可得到不变因子分解：

$$d_1(x)\mid d_2(x)\mid\cdots\mid d_t(x),\quad d_t(x)=m_A(x),$$

并有

$$\prod_{i=1}^t d_i(x)=p_A(x).$$

例题 2：由不变因子恢复特征多项式

设不变因子为

$$d_1(x)=x-1,\quad d_2(x)=(x-1)(x+2)^2.$$

求 $m_A(x)$ 与 $p_A(x)$。

解：最大不变因子即最小多项式：

$$m_A(x)=d_2(x)=(x-1)(x+2)^2.$$

特征多项式为不变因子乘积：

$$p_A(x)=d_1(x)d_2(x)=(x-1)^2(x+2)^2.$$

3. 有理标准形（Frobenius 标准形）

在任意域上，矩阵都相似于若干 companion 块的直和：

$$R=\operatorname{diag}(C(d_1),\dots,C(d_t)),\quad d_1\mid\cdots\mid d_t.$$

这就是有理标准形，且由不变因子唯一决定（块次序忽略）。

给定首一多项式

$$d(x)=x^k+a_{k-1}x^{k-1}+\cdots+a_0,$$

其 companion 矩阵为

$$C(d)=\begin{pmatrix} 0&1&0&\cdots&0\\ 0&0&1&\cdots&0\\ \vdots& &\ddots&\ddots&\vdots\\ 0&\cdots&0&0&1\\ -a_0&-a_1&\cdots&-a_{k-2}&-a_{k-1} \end{pmatrix}.$$

例题 3：写出有理标准形

设 $A$ 的不变因子为

$$d_1(x)=x^2+1,\quad d_2(x)=x^2-2x+2.$$

写出 $A$ 的有理标准形。

解：

$$R=\operatorname{diag}(C(d_1),C(d_2)).$$

其中

$$C(d_1)=\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix},\quad C(d_2)=\begin{pmatrix}0&1\\-2&2\end{pmatrix}.$$

故

$$R=\begin{pmatrix} 0&1&0&0\\ -1&0&0&0\\ 0&0&0&1\\ 0&0&-2&2 \end{pmatrix}.$$

4. CH 定理应用：矩阵求逆

若 $A$ 可逆，CH 定理可将 $A^{-1}$ 写成 $A$ 的低次多项式。

例题 4：用 CH 定理求逆

设

$$A=\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}.$$

求 $A^{-1}$。

解：

$$p_A(\lambda)=\lambda^2-3\lambda+1.$$

由 CH 定理：

$$A^2-3A+I=0.$$

两边右乘 $A^{-1}$：

$$A-3I+A^{-1}=0\Rightarrow A^{-1}=3I-A.$$

即

$$A^{-1}=\begin{pmatrix}1&-1\\-1&2\end{pmatrix}.$$

5. 配套练习（折叠答案）

练习 1：CH 定理降幂

设 $A$ 满足 $A^2-4A+3I=0$，求 $A^4$ 关于 $A,I$ 的表达式。

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由 $A^2=4A-3I$，得

$$A^3=A(4A-3I)=4A^2-3A=4(4A-3I)-3A=13A-12I,$$$$A^4=A(13A-12I)=13A^2-12A=13(4A-3I)-12A=40A-39I.$$

故

$$A^4=40A-39I.$$

练习 2：最小多项式判定

设

$$A=\begin{pmatrix} 1&1&0\\ 0&1&0\\ 0&0&2 \end{pmatrix}.$$

求 $m_A(x)$。

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对特征值 1 有 2 阶 Jordan 块，因此因子含 $(x-1)^2$；特征值 2 为 1 阶块，含 $(x-2)$。 故

$$m_A(x)=(x-1)^2(x-2).$$

练习 3：有理标准形块数

若 $A$ 的不变因子为

$$d_1(x)=x+1,\ d_2(x)=(x+1)(x^2+1),$$

问有理标准形有几个 companion 块？最小多项式是什么？

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不变因子个数即 companion 块个数，为 2 块。 最大不变因子给出最小多项式：

$$m_A(x)=d_2(x)=(x+1)(x^2+1).$$

练习 4：CH 定理求逆

已知

$$A^2-5A+6I=0,$$

且 $A$ 可逆，求 $A^{-1}$。

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方程右乘 $A^{-1}$：

$$A-5I+6A^{-1}=0.$$

故

$$A^{-1}=\frac{1}{6}(5I-A).$$