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双线性型 (Bilinear Forms)

双线性型是线性代数中研究两个向量之间标量关系的代数结构，是二次型的推广，也是算子理论的重要基础。

1. 定义与基本性质​

设 VV 是域 F\mathbb{F} 上的向量空间。映射 B:V×V→FB: V \times V \to \mathbb{F} 称为 双线性型，如果它对两个分量都是线性的：

  1. B(u+v,w)=B(u,w)+B(v,w)B(u+v, w) = B(u, w) + B(v, w)
  2. B(cu,v)=cB(u,v)B(cu, v) = cB(u, v)
  3. B(u,v+w)=B(u,v)+B(u,w)B(u, v+w) = B(u, v) + B(u, w)
  4. B(u,cv)=cB(u,v)B(u, cv) = cB(u, v)

矩阵表示​

设 B={e1,…,en}\mathcal{B} = \{e_1, \dots, e_n\} 是 VV 的一组基，则 BB 由其 度量矩阵 (Gram Matrix) A=(aij)A = (a_{ij}) 唯一确定，其中 aij=B(ei,ej)a_{ij} = B(e_i, e_j)。 对任意 x,y∈Vx, y \in V，若其坐标分别为 x,y\mathbf{x}, \mathbf{y}，则：

B(x,y)=xTAy.B(x, y) = \mathbf{x}^T A \mathbf{y}.

基变更与合同​

若从基 B\mathcal{B} 变为 B′\mathcal{B}'，过渡矩阵为 PP，则度量矩阵 AA 变为 A′=PTAPA' = P^T A P。 这说明双线性型的矩阵在基变更下是 合同 (Congruent) 的。

2. 特殊类型的双线性型​

对称与反对称​

  • 对称 (Symmetric)：B(u,v)=B(v,u)B(u, v) = B(v, u)，对应 AT=AA^T = A。
  • 反对称 (Skew-symmetric)：B(u,v)=−B(v,u)B(u, v) = -B(v, u)，对应 AT=−AA^T = -A。在特征不为 2 的域上，这等价于交错性 B(v,v)=0B(v, v) = 0。

非退化性 (Non-degeneracy)​

定义左自由基 (Left Kernel) 为 rad⁡L(B)={u∈V∣B(u,v)=0,∀v∈V}\operatorname{rad}_L(B) = \{u \in V \mid B(u, v) = 0, \forall v \in V\}。 若 rad⁡L(B)={0}\operatorname{rad}_L(B) = \{0\} 且 rad⁡R(B)={0}\operatorname{rad}_R(B) = \{0\}，则称 BB 为 非退化 的。 这等价于 det⁡(A)≠0\det(A) \neq 0。

3. 正交性与投影​

定义 u,vu, v 关于 BB 正交 为 B(u,v)=0B(u, v) = 0。 对子空间 W⊂VW \subset V，其正交补定义为：

W⊥={v∈V∣B(w,v)=0,∀w∈W}.W^\perp = \{v \in V \mid B(w, v) = 0, \forall w \in W\}.
关键定理

若 BB 是非退化的对称双线性型，且 WW 是 VV 的非退化子空间（即 B∣WB|_W 非退化），则有直和分解： V=W⊕W⊥.V = W \oplus W^\perp.

4. 典型标准形​

对称双线性型（代数闭域）​

在代数闭域（如 C\mathbb{C}）上，任意对称双线性型都可化为 IrI_r 的形式，其中 rr 是秩。

反对称双线性型​

任意交错双线性型（反对称且 B(v,v)=0B(v,v)=0）都存在一组基，使矩阵为：

diag⁡((01−10),…,(01−10),0,…,0).\operatorname{diag}\left( \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}, \dots, \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}, 0, \dots, 0 \right).

这说明反对称双线性型的秩必为偶数。

5. 深度例题​

例 1：双线性型的极化恒等式​

设 BB 是对称双线性型，Q(v)=B(v,v)Q(v) = B(v, v) 是关联的二次型。证明： B(u,v)=12(Q(u+v)−Q(u)−Q(v)).B(u, v) = \frac{1}{2} (Q(u+v) - Q(u) - Q(v)).

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Q(u+v)=B(u+v,u+v)=B(u,u)+B(u,v)+B(v,u)+B(v,v)=Q(u)+2B(u,v)+Q(v)(由对称性)\begin{aligned} Q(u+v) &= B(u+v, u+v) \\ &= B(u, u) + B(u, v) + B(v, u) + B(v, v) \\ &= Q(u) + 2B(u, v) + Q(v) \quad (\text{由对称性}) \end{aligned}

移项即得：2B(u,v)=Q(u+v)−Q(u)−Q(v)2B(u, v) = Q(u+v) - Q(u) - Q(v)。

例 2：反对称矩阵的行列式​

证明：奇数阶实反对称矩阵的行列式必为 0。

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设 AT=−AA^T = -A，且 nn 为奇数。 det⁡(A)=det⁡(AT)=det⁡(−A)=(−1)ndet⁡(A).\det(A) = \det(A^T) = \det(-A) = (-1)^n \det(A). 由于 nn 是奇数，(−1)n=−1(-1)^n = -1，故 det⁡(A)=−det⁡(A)⇒2det⁡(A)=0⇒det⁡(A)=0\det(A) = -\det(A) \Rightarrow 2\det(A) = 0 \Rightarrow \det(A) = 0。

6. 配套练习​

练习 1：度量矩阵计算​

在 R2\mathbb{R}^2 中，定义 B(x,y)=x1y1+2x1y2+3x2y1+4x2y2B(x, y) = x_1y_1 + 2x_1y_2 + 3x_2y_1 + 4x_2y_2。

  1. 求 BB 在标准基下的矩阵 AA。
  2. BB 是否是对称的？是否是非退化的？
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  1. 标准基 e1=(1,0),e2=(0,1)e_1=(1,0), e_2=(0,1)。
    • a11=B(e1,e1)=1a_{11} = B(e_1, e_1) = 1
    • a12=B(e1,e2)=2a_{12} = B(e_1, e_2) = 2
    • a21=B(e2,e1)=3a_{21} = B(e_2, e_1) = 3
    • a22=B(e2,e2)=4a_{22} = B(e_2, e_2) = 4 故 A=(1234)A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}。
  2. AT≠AA^T \neq A，故 BB 不是对称的。 det⁡(A)=4−6=−2≠0\det(A) = 4 - 6 = -2 \neq 0，故 BB 是非退化的。

练习 2：正交补的维数​

设 VV 是 nn 维空间，BB 是非退化双线性型。证明：对任意子空间 WW，有 dim⁡W+dim⁡W⊥=n\dim W + \dim W^\perp = n。

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考虑映射 f:V→W∗f: V \to W^*（WW 的对偶空间），定义为 f(v)(w)=B(w,v)f(v)(w) = B(w, v)。

  • ff 是线性映射。
  • ker⁡(f)={v∈V∣B(w,v)=0,∀w∈W}=W⊥\ker(f) = \{v \in V \mid B(w, v) = 0, \forall w \in W\} = W^\perp。
  • 根据秩-零化度定理：dim⁡V=dim⁡ker⁡(f)+dim⁡Im⁡(f)\dim V = \dim \ker(f) + \dim \operatorname{Im}(f)。
  • 由于 BB 非退化，映射 g:V→V∗g: V \to V^* (v↦B(⋅,v)v \mapsto B(\cdot, v)) 是同构。而 ff 是 gg 在 WW 上的限制复合上限制映射 V∗→W∗V^* \to W^*。可以证明 ff 是满射（Exercise）。
  • 因此 dim⁡Im⁡(f)=dim⁡W∗=dim⁡W\dim \operatorname{Im}(f) = \dim W^* = \dim W。
  • 结论：n=dim⁡W⊥+dim⁡Wn = \dim W^\perp + \dim W。

练习 3：交错型的构造​

设 VV 的基为 e1,e2,e3e_1, e_2, e_3。构造一个非零交错双线性型 BB。

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交错要求 B(v,v)=0B(v, v) = 0，即度量矩阵 AA 必须是反对称的且对角元为 0。 取 A=(010−100000)A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}。 则 B(x,y)=x1y2−x2y1B(x, y) = x_1y_2 - x_2y_1 即为一个满足条件的非零交错双线性型。 注意其秩为 2（偶数）。