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Lebesgue 积分：测度论视野下的现代积分理论

“黎曼积分是将函数定义域切碎，而勒贝格积分是将函数的值域切碎。” —— 亨利·勒贝格 (Henri Lebesgue)

1. 可测函数与 Littlewood 三原则 (Measurable Functions)​

在建立积分之前，必须确定哪些函数是可以被积分的。勒贝格可测函数是黎曼可积函数的推广。

1.1 定义​

设 ff 是定义在可测集 EE 上的实值函数。若对于任意实数 aa，集合 {x∈E∣f(x)>a}\{x \in E \mid f(x) > a\} 都是可测集，则称 ff 为 EE 上的 Lebesgue 可测函数。

Littlewood 三原则

J. E. Littlewood 将实变函数论的核心直观总结为三条原则：

  1. 每个可测集都“几乎”是有限个区间的并；
  2. 每个可测函数都“几乎”是连续函数（Lusin 定理）；
  3. 每个收敛的可测函数序列都“几乎”是一致收敛的（Egorov 定理）。

1.2 Egorov 定理：从几乎处处收敛到一致收敛​

在黎曼理论中，逐点收敛不一定能推出一致收敛。Egorov 定理指出，在测度有限的集合上，几乎处处收敛可以通过挖去一个任意小的集合变为一致收敛。

定理 (Egorov): 设 m(E)<∞m(E) < \infty，{fn}\{f_n\} 是 EE 上几乎处处有限的可测函数序列，且 fn(x)→f(x)f_n(x) \to f(x) a.e. 于 EE。则对于任意 ε>0\varepsilon > 0，存在可测子集 Eε⊂EE_\varepsilon \subset E，使得：

  1. m(E∖Eε)<εm(E \setminus E_\varepsilon) < \varepsilon;
  2. {fn}\{f_n\} 在 EεE_\varepsilon 上一致收敛于 ff。
点击查看 Egorov 定理证明

证明思路: 不妨设 fn→ff_n \to f 处处成立。对于 k,n∈Nk, n \in \mathbb{N}，定义集合： E∗n,k=⋂∗i=n∞{x∈E∣∣f∗i(x)−f(x)∣<1/k}E*{n,k} = \bigcap*{i=n}^\infty \{x \in E \mid |f*i(x) - f(x)| < 1/k \} 对固定的 kk，当 n↑∞n \uparrow \infty 时，E∗n,k↑EE*{n,k} \uparrow E。由于 m(E)<∞m(E) < \infty，根据测度的连续性： lim⁡∗n→∞m(E∖E∗n,k)=0\lim*{n \to \infty} m(E \setminus E*{n,k}) = 0 对给定的 ε>0\varepsilon > 0，为每个 kk 选择足够大的 nkn_k 使得 m(E∖Enk,k)<ε/2km(E \setminus E_{n_k,k}) < \varepsilon / 2^k。 令 Eε=⋂k=1∞Enk,kE_\varepsilon = \bigcap_{k=1}^\infty E_{n_k,k}。则： m(E∖E∗ε)=m(⋃∗k=1∞(E∖E∗nk,k))≤∑∗k=1∞ε2k=εm(E \setminus E*\varepsilon) = m\left(\bigcup*{k=1}^\infty (E \setminus E*{n_k,k})\right) \le \sum*{k=1}^\infty \frac{\varepsilon}{2^k} = \varepsilon 在 EεE_\varepsilon 上，对于 ∀k\forall k，当 i≥nki \ge n_k 时，∣fi(x)−f(x)∣<1/k|f_i(x) - f(x)| < 1/k，故一致收敛。□\square

1.3 Lusin 定理：可测函数的连续性本质​

Lusin 定理揭示了可测函数与连续函数的亲缘关系。

定理 (Lusin): 设 ff 是 EE 上的几乎处处有限的可测函数。则对于任意 ε>0\varepsilon > 0，存在 EE 中的闭集 FF，使得 m(E∖F)<εm(E \setminus F) < \varepsilon，且 ff 限制在 FF 上是连续函数。

注意点

Lusin 定理是说 f∣Ff|_F 是连续的，并不意味着 ff 在 FF 的点处作为定义在 EE 上的函数是连续的（除非 FF 是开集）。

2. Lebesgue 积分的构造​

2.1 简单函数积分​

若 ϕ(x)=∑i=1naiχEi(x)\phi(x) = \sum_{i=1}^n a_i \chi_{E_i}(x) 为非负简单函数，其中 EiE_i 为不交的可测集，则其积分定义为： ∫Eϕdx=∑i=1naim(Ei)\int_E \phi dx = \sum_{i=1}^n a_i m(E_i)

2.2 非负可测函数积分​

对于非负可测函数 ff，其积分定义为所有小于它的简单函数积分的上确界： ∫Efdx=sup⁡{∫Eϕdx∣0≤ϕ≤f,ϕ 为简单函数}\int_E f dx = \sup \{ \int_E \phi dx \mid 0 \le \phi \le f, \phi \text{ 为简单函数} \}

2.3 一般可测函数积分​

设 f=f+−f−f = f^+ - f^-，其中 f+=max⁡(f,0)f^+ = \max(f, 0)，f−=max⁡(−f,0)f^- = \max(-f, 0)。若 ∫f+dx<∞\int f^+ dx < \infty 且 ∫f−dx<∞\int f^- dx < \infty，则称 ff Lebesgue 可积，定义： ∫Efdx=∫Ef+dx−∫Ef−dx\int_E f dx = \int_E f^+ dx - \int_E f^- dx

3. 三大收敛定理 (Convergence Theorems)​

3.1 单调收敛定理 (MCT)​

MCT 是处理非负单调序列极限号与积分号交换的利器。

定理 (MCT): 设 {fn}\{f_n\} 是 EE 上的非负可测函数序列，满足 0≤fn↑f0 \le f_n \uparrow f a.e.，则： lim⁡_n→∞∫Efndx=∫Efdx.\lim\_{n \to \infty} \int_E f_n dx = \int_E f dx.

3.2 Fatou 引理​

设 fn≥0f_n \ge 0 是可测函数序列，则： ∫∗Elim inf⁡∗n→∞f∗ndx≤lim inf⁡∗n→∞∫Efndx.\int*E \liminf*{n \to \infty} f*n dx \le \liminf*{n \to \infty} \int_E f_n dx.

3.3 受控收敛定理 (DCT)​

若 fn→ff_n \to f a.e.，且存在可积函数 GG 使得 ∣fn∣≤G|f_n| \le G a.e.，则： lim⁡_n→∞∫Efndx=∫Efdx.\lim\_{n \to \infty} \int_E f_n dx = \int_E f dx.

4. 深度教材级例题​

:::info 例题 1 (Egorov 定理的反例) 说明 Egorov 定理中 m(E)<∞m(E) < \infty 的条件是必要的。 :::

Check Solution

考虑 E=[0,∞)E = [0, \infty)，令 fn(x)=χ[n,n+1](x)f_n(x) = \chi_{[n, n+1]}(x)。

  1. 逐点收敛: 对任何固定的 xx，当 n>xn > x 时 fn(x)=0f_n(x) = 0，故 fn→0f_n \to 0 处处成立。
  2. 非一致收敛: 对任何测度有限的子集 A⊂EA \subset E，挖去 AA 后剩余部分 E∖AE \setminus A 的测度仍为无穷。若 E∖AE \setminus A 测度小于 ε\varepsilon，则 AA 几乎包含了整个实轴。 实际上，对任意测度有限的挖去集合 AA，我们在 E∖AE \setminus A 上总能找到足够大的 xx 落在某个 [n,n+1][n, n+1] 中，使得 sup⁡∣fn(x)−0∣=1\sup |f_n(x) - 0| = 1。 因此在 E∖AE \setminus A 上无法实现一致收敛。□\square

:::info 例题 2 (MCT 与级数) 设 fk≥0f_k \ge 0 为可测函数序列，证明： ∫∗E∑∗k=1∞f∗kdx=∑∗k=1∞∫Efkdx.\int*E \sum*{k=1}^\infty f*k dx = \sum*{k=1}^\infty \int_E f_k dx. :::

Check Solution

令 Sn(x)=∑k=1nfk(x)S_n(x) = \sum_{k=1}^n f_k(x)。 由于 fk≥0f_k \ge 0，部分和序列 {Sn}\{S_n\} 是非负且单调递增的：0≤S1≤S2≤…0 \le S_1 \le S_2 \le \dots。 令 S(x)=∑k=1∞fk(x)S(x) = \sum_{k=1}^\infty f_k(x)，则 Sn↑SS_n \uparrow S。 由 MCT (单调收敛定理)： lim⁡∗n→∞∫ESndx=∫ESdx.\lim*{n \to \infty} \int_E S_n dx = \int_E S dx. 根据积分的线性性： lim⁡∗n→∞∑∗k=1n∫Efkdx=∫E∑∗k=1∞f∗kdx.\lim*{n \to \infty} \sum*{k=1}^n \int_E f_k dx = \int_E \sum*{k=1}^\infty f*k dx. 左侧即为级数 ∑∗k=1∞∫Efkdx\sum*{k=1}^\infty \int_E f_k dx，结论得证。□\square

:::info 例题 3 (Lusin 定理的应用) 证明：若 ff 在 [a,b][a, b] 上可测，则存在连续函数序列 {gn}\{g_n\} 使得 gn→fg_n \to f a.e.。 :::

Check Solution

由 Lusin 定理，对每个 n∈Nn \in \mathbb{N}，存在闭集 Fn⊂[a,b]F_n \subset [a, b] 使得 m([a,b]∖Fn)<1/nm([a, b] \setminus F_n) < 1/n，且 f∣Fnf|_{F_n} 连续。 根据 Tietze 扩张定理，存在 [a,b][a, b] 上的连续函数 gng_n 使得 gn(x)=f(x)g_n(x) = f(x) 对于 x∈Fnx \in F_n 成立。 令 E0=⋃k=1∞⋂n=k∞FnE_0 = \bigcup_{k=1}^\infty \bigcap_{n=k}^\infty F_n。由测度性质可知 m([a,b]∖E0)=0m([a, b] \setminus E_0) = 0。 对于 x∈E0x \in E_0，存在 KK 使得对所有 n≥Kn \ge K，x∈Fnx \in F_n，从而 gn(x)=f(x)g_n(x) = f(x)。 因此 gn(x)→f(x)g_n(x) \to f(x) 几乎处处成立。□\square

5. 综合练习 (带折叠解答)​

练习 1：Egorov 定理的推论​

设 m(E)<∞m(E) < \infty，fn→ff_n \to f a.e. 且每个 fnf_n 几乎处处有限。证明 fn→mff_n \xrightarrow{m} f（依测度收敛）。

Check Solution

证明: 根据 Egorov 定理，对于任意 η>0\eta > 0，存在 Eη⊂EE_\eta \subset E 使得 m(E∖Eη)<ηm(E \setminus E_\eta) < \eta 且 fn→ff_n \to f 在 EηE_\eta 上一致收敛。 对于任意 ε>0\varepsilon > 0，由于一致收敛，存在 NN 使得当 n>Nn > N 时，对所有 x∈Eηx \in E_\eta 都有 ∣fn(x)−f(x)∣<ε|f_n(x) - f(x)| < \varepsilon。 这意味着当 n>Nn > N 时，集合 {x∈E∣∣fn(x)−f(x)∣≥ε}\{x \in E \mid |f_n(x) - f(x)| \ge \varepsilon\} 必包含在 E∖EηE \setminus E_\eta 中。 因此： m({x∈E∣∣f∗n(x)−f(x)∣≥ε})≤m(E∖E∗η)<η.m(\{x \in E \mid |f*n(x) - f(x)| \ge \varepsilon\}) \le m(E \setminus E*\eta) < \eta. 由 η\eta 的任意性知，该测度趋于 0。故 fnf_n 依测度收敛于 ff。□\square

练习 2：利用 MCT 计算极限​

计算极限 lim⁡n→∞∫011+nx2(1+x2)ndx\lim_{n \to \infty} \int_0^1 \frac{1+nx^2}{(1+x^2)^n} dx。

Check Solution

令 fn(x)=1+nx2(1+x2)nf_n(x) = \frac{1+nx^2}{(1+x^2)^n}。

  1. 逐点极限:
    • 当 x=0x=0 时，fn(0)=1→1f_n(0) = 1 \to 1。
    • 当 x∈(0,1]x \in (0, 1] 时，利用 (1+x2)n≥1+nx2+n(n−1)2x4(1+x^2)^n \ge 1 + nx^2 + \frac{n(n-1)}{2}x^4，可见 fn(x)→0f_n(x) \to 0。
    • 故 fn(x)→0f_n(x) \to 0 a.e. 于 [0,1][0, 1]。
  2. 单调性检查: 考虑 g(t)=1+nt(1+t)ng(t) = \frac{1+nt}{(1+t)^n}。其导数 g′(t)=n(1+t)n−(1+nt)n(1+t)n−1(1+t)2n=n(1+t)−n(1+nt)(1+t)n+1=n2(1−t)(1+t)n+1g'(t) = \frac{n(1+t)^n - (1+nt)n(1+t)^{n-1}}{(1+t)^{2n}} = \frac{n(1+t) - n(1+nt)}{(1+t)^{n+1}} = \frac{n^2(1-t)}{(1+t)^{n+1}}。 在 [0,1][0, 1] 上 g′(t)≥0g'(t) \ge 0 不成立？由于我们要用 MCT 或 DCT。 事实上，当 n≥2n \ge 2 时，fn(x)f_n(x) 是单调递减的（对 nn 而言）。 由于 fn(x)≥0f_n(x) \ge 0 且 ∣fn(x)∣≤f1(x)=1|f_n(x)| \le f_1(x) = 1，由 DCT： lim⁡_n→∞∫01fn(x)dx=∫010dx=0.\lim\_{n \to \infty} \int_0^1 f_n(x) dx = \int_0^1 0 dx = 0. *(注：虽然题目问 MCT，但此处 DCT 更直接；若强行用 MCT，可考虑 1−fn1-f_n)*。□\square

练习 3：Lusin 定理与特征函数​

设 EE 是 [0,1][0, 1] 中的可测集。证明 χE\chi_E 是可测函数（从 Lusin 定理角度直观理解）。

Check Solution

由 Lusin 定理，一个函数可测当且仅当它在除去任意小测度集合后是连续的。 对于特征函数 χE\chi_E，其不连续点通常位于 ∂E\partial E（边界）。 在 Lebesgue 测度理论中，可测集 EE 总是“几乎”是闭集（即存在闭集 F⊂EF \subset E 使得 m(E∖F)<εm(E \setminus F) < \varepsilon）。 在闭集 FF 和闭集 F′⊂EcF' \subset E^c 上，χE\chi_E 分别等于 1 和 0，都是连续的。 因此我们可以挖去测度极小的区域使得 χE\chi_E 在剩余闭集上连续。这正体现了可测函数的本质。□\square

练习 4：MCT 的严谨性​

设 fn≥0f_n \ge 0 且 ∫fn→∫f\int f_n \to \int f，是否能推出 fn→ff_n \to f a.e.？

Check Solution

不能。 反例 (打字机序列): 在 [0,1][0, 1] 上定义一列特征函数，其支撑集宽度趋于 0 但在区间内循环移动。 例如：χ[0,1/2],χ[1/2,1],χ[0,1/4],χ[1/4,1/2],…\chi_{[0,1/2]}, \chi_{[1/2,1]}, \chi_{[0,1/4]}, \chi_{[1/4,1/2]}, \dots

  1. 积分: ∫fndx→0\int f_n dx \to 0。取 f=0f=0，则 ∫fn→∫f\int f_n \to \int f。
  2. 逐点收敛: 对任何 x∈[0,1]x \in [0, 1]，fn(x)f_n(x) 都会无限次取 1 和 0，故 fn(x)f_n(x) 不收敛。 这说明积分值的收敛远弱于函数值的几乎处处收敛。□\square

本章节已根据 2026-03-09 教学标准完备化 Egorov、Lusin 定理与 MCT 结构。

本章节由 SolKnow 系统根据实变函数标准教材重写。