矩阵与线性变换

本章按“运算-结构-应用”组织：先掌握计算规则，再理解秩与相似对角化，最后连接线性方程组与特征值问题。

1. 基本概念与运算

设 $A\in M_{m\times n}(\mathbb{F})$，$B\in M_{n\times p}(\mathbb{F})$。

• 矩阵加法与数乘按分量定义。
• 乘法满足结合律与分配律，一般不满足交换律。
• 转置满足 $(AB)^T=B^TA^T$。

例题 1：矩阵乘法与转置

设

$$A=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}2&-1\\3&0\end{pmatrix}.$$

求 $AB$ 与 $(AB)^T$。

解：

$$AB=\begin{pmatrix}1\cdot2+2\cdot3 & 1\cdot(-1)+2\cdot0\\0\cdot2+1\cdot3 & 0\cdot(-1)+1\cdot0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}8&-1\\3&0\end{pmatrix},$$

故

$$(AB)^T=\begin{pmatrix}8&3\\-1&0\end{pmatrix}.$$

2. 初等变换、秩与可逆性

对矩阵做初等行变换不改变行秩；行最简形中非零行数即秩。

• $\operatorname{rank}(A)=n$（方阵）当且仅当 $A$ 可逆。
• $AX=b$ 有唯一解当且仅当 $A$ 可逆。

例题 2：求秩与可逆性

$$A=\begin{pmatrix} 1&2&1\\ 2&4&2\\ 1&1&0 \end{pmatrix}.$$

解：行变换

$$R_2\leftarrow R_2-2R_1,\quad R_3\leftarrow R_3-R_1$$

得

$$\begin{pmatrix} 1&2&1\\ 0&0&0\\ 0&-1&-1 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1&2&1\\ 0&1&1\\ 0&0&0 \end{pmatrix}.$$

故 $\operatorname{rank}(A)=2<3$，所以 $A$ 不可逆。

3. 特征值、特征向量与相似对角化

若存在非零向量 $v$ 使 $Av=\lambda v$，则 $\lambda$ 是特征值。

• 特征多项式：$p_A(\lambda)=\det(\lambda I-A)$。
• 若 $n$ 阶矩阵有 $n$ 个线性无关特征向量，则可相似对角化。

例题 3：对角化判定

$$A=\begin{pmatrix}2&1\\0&3\end{pmatrix}.$$

解：

$$p_A(\lambda)=(\lambda-2)(\lambda-3).$$

有两个不同特征值 $2,3$，故必可对角化。

对应特征向量可取：

• $\lambda=2$ 时，$v_1=(1,0)^T$；
• $\lambda=3$ 时，$v_2=(1,1)^T$。

令 $P=(v_1,v_2)$，则 $P^{-1}AP=\operatorname{diag}(2,3)$。

4. 配套练习（折叠答案）

练习 1

求矩阵

$$A=\begin{pmatrix}1&0&2\\2&1&5\\-1&1&-1\end{pmatrix}$$

的秩。

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行变换：

$$R_2\leftarrow R_2-2R_1=(0,1,1),\quad R_3\leftarrow R_3+R_1=(0,1,1).$$

再 $R_3\leftarrow R_3-R_2$ 得零行。 故非零行有 2 行，$\operatorname{rank}(A)=2$。

练习 2

判断矩阵

$$B=\begin{pmatrix}4&0\\0&4\end{pmatrix}$$

是否可对角化，并说明理由。

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$B=4I$ 本身就是对角矩阵，当然可对角化。其特征值只有 4，但特征子空间维数为 2（任意非零向量都是特征向量）。

练习 3

若 $A$ 可逆，证明 $A^{-1}$ 的特征值为 $A$ 的特征值的倒数。

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若 $Av=\lambda v$（$v\neq0$，且 $\lambda\neq0$），两侧左乘 $A^{-1}$：

$$v=\lambda A^{-1}v\Rightarrow A^{-1}v=\frac1\lambda v.$$

故 $1/\lambda$ 是 $A^{-1}$ 的特征值。