$L^p$ 空间：范数、完备性与核心不等式

从黎曼积分到 Lebesgue 积分之后，函数不再只按“点值”比较，而是按“整体大小”比较。$L^p$ 空间正是这种整体尺度的标准语言。

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一、定义与基本对象

设 $(X,\mathcal{M},\mu)$ 为测度空间，$1 \le p < \infty$。

可测函数 $f$ 若满足

$$\int_X |f|^p \, d\mu < \infty,$$

则称 $f \in L^p(X)$。对应范数定义为

$$\|f\|_p = \left(\int_X |f|^p\,d\mu\right)^{1/p}.$$

对 $p=\infty$，定义

$$\|f\|_\infty = \operatorname*{ess\,sup}_{x\in X}|f(x)|.$$

满足 $\|f\|_\infty<\infty$ 的函数构成 $L^\infty(X)$。

等价类视角

$L^p$ 中函数按“几乎处处相等”识别为同一个元素：若 $f=g$ a.e.，则在 $L^p$ 中视为同一对象。

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二、$L^p$ 范数与度量结构

在 $1\le p\le\infty$ 下，$\|\cdot\|_p$ 都满足范数公理：

1. 非负性与确定性：$\|f\|_p\ge0$，且 $\|f\|_p=0 \iff f=0$ a.e.；
2. 齐次性：$\|\lambda f\|_p=|\lambda|\|f\|_p$；
3. 三角不等式：$\|f+g\|_p\le \|f\|_p+\|g\|_p$（$p<\infty$ 由 Minkowski 给出）。

由此得到度量

$$d_p(f,g)=\|f-g\|_p.$$

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三、Hölder 与 Minkowski 不等式

1. Hölder 不等式

若 $1<p,q<\infty$ 且 $\frac1p+\frac1q=1$，则

$$\int_X |fg|\,d\mu \le \|f\|_p\|g\|_q.$$

这是“乘积可积性”的核心工具，也是 Minkowski、对偶空间和偏微分方程估计的起点。

2. Minkowski 不等式

对 $1\le p<\infty$，

$$\|f+g\|_p \le \|f\|_p+\|g\|_p.$$

这相当于把欧氏空间的三角不等式推广到函数空间。

两条不等式的分工

Hölder 负责“乘积估计”，Minkowski 负责“和估计”。实变函数中的大量先验估计都由这两条不等式拼接得到。

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四、完备性：$L^p$ 是 Banach 空间

核心结论：

• $1\le p\le\infty$ 时，$L^p(X)$ 完备；
• 即每个 $L^p$-Cauchy 列都收敛到某个 $L^p$ 元。

特别地，$p=2$ 时可定义内积

$$\langle f,g\rangle=\int_X f\overline g\,d\mu,$$

所以 $L^2$ 是 Hilbert 空间。

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五、收敛方式辨析（考试高频）

常见概念：

1. $L^p$ 收敛：$\|f_n-f\|_p\to0$；
2. 几乎处处收敛：$f_n(x)\to f(x)$ a.e.；
3. 测度收敛：$\mu(\{|f_n-f|>\varepsilon\})\to0$（任意 $\varepsilon>0$）；
4. 一致收敛：$\sup_X|f_n-f|\to0$。

典型关系（有限测度空间中）：

• $L^p$ 收敛 $\Rightarrow$ 测度收敛；
• 几乎处处收敛不必推出 $L^p$ 收敛；
• 测度收敛加一致可积/支配条件常可推出 $L^1$ 收敛（Vitali 思想）。

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六、教材级例题（5 题）

例 1：判定幂函数何时属于 $L^p(0,1)$

讨论 $f(x)=x^{-\alpha}$ 属于 $L^p(0,1)$ 的充要条件。

Check Solution

$$\|f\|_p^p = \int_0^1 x^{-\alpha p}\,dx.$$

积分收敛当且仅当 $-\alpha p>-1$，即

$$\alpha < \frac1p.$$

所以 $x^{-\alpha}\in L^p(0,1)\iff \alpha<1/p$。

例 2：应用 Hölder 估计乘积

设 $f\in L^4(0,1),\, g\in L^{4/3}(0,1)$，证明 $fg\in L^1(0,1)$ 且给出估计。

Check Solution

取共轭指数 $p=4,\ q=4/3$，应用 Hölder：

$$\int_0^1 |fg| \le \|f\|_4\|g\|_{4/3}<\infty.$$

故 $fg\in L^1(0,1)$，且

$$\|fg\|_1\le \|f\|_4\|g\|_{4/3}.$$

例 3：用 Minkowski 证明 $L^p$ 三角不等式

证明 $f,g\in L^p(X)$（$1\le p<\infty$）时，$f+g\in L^p$ 且

$$\|f+g\|_p\le \|f\|_p+\|g\|_p.$$

Check Solution

这是 Minkowski 不等式本身。证明通常从

$$|f+g|^p = |f+g||f+g|^{p-1} \le (|f| + |g|)|f+g|^{p-1}$$

出发，展开为 $|f||f+g|^{p-1} + |g||f+g|^{p-1}$，再对两项分别使用 Hölder 不等式（其中共轭指数为 $p$ 和 $q = \frac{p}{p-1}$），即可得到结论。

例 4：a.e. 收敛但不 $L^1$ 收敛

在 $(0,1)$ 上令 $f_n(x)=n\mathbf{1}_{(0,1/n)}(x)$。判断 $f_n\to0$ 的收敛类型。

Check Solution

对任意 $x \in (0, 1)$，当 $n > 1/x$ 时 $f_n(x) = 0$，故 $f_n(x) \to 0$ a.e.
但 $\|f_n\|_1 = \int_0^{1/n} n \, dx = 1$，不趋于 0，故不收敛于 $L^1$。 这也说明了几乎处处收敛不能保证 $L^p$ 收敛，除非有额外的控制条件（如 DCT）。

例 5：$L^p$ 收敛推出测度收敛

设 $\mu(X)<\infty$ 且 $\|f_n-f\|_p\to0$，证明 $f_n\to f$ in measure。

Check Solution

由 Markov 不等式（或称 Chebyshev 不等式）：

$$\mu\{|f_n-f|>\varepsilon\} \le \frac{1}{\varepsilon^p}\int_X|f_n-f|^p\,d\mu =\frac{\|f_n-f\|_p^p}{\varepsilon^p}.$$

因为 $\|f_n-f\|_p \to 0$，故对任意 $\varepsilon > 0$，上述测度趋于 0。

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七、分层练习

练习 1（基础）

证明：若 $\mu(X)<\infty$ 且 $q>p\ge1$，则 $L^q(X)\subset L^p(X)$，并给出范数估计。

Check Solution

由 Hölder 不等式，取函数 $|f|^p$ 和 $1$，指数 $r = q/p$ 及其共轭指数 $r' = \frac{q}{q-p}$： $\int_X |f|^p \cdot 1 d\mu \le \left(\int_X (|f|^p)^{q/p} d\mu\right)^{p/q} \left(\int_X 1^{q/(q-p)} d\mu\right)^{(q-p)/q}.$ 即 $\|f\|_p^p \le \|f\|_q^p \cdot \mu(X)^{(q-p)/q}$。 两边开 $p$ 次方得：$\|f\|_p \le \|f\|_q \cdot \mu(X)^{\frac{1}{p} - \frac{1}{q}}$。 由于 $\mu(X) < \infty$，范数有界，故 $L^q \subset L^p$。

练习 2（提高）

证明 $L^\infty(X)$ 是 Banach 空间。

Check Solution

设 $\{f_n\}$ 是 $L^\infty$ 中的 Cauchy 序列。 对于每个 $k, m, n \in \mathbb{N}$，定义 $A_{k,m,n} = \{x : |f_n(x) - f_m(x)| > \|f_n - f_m\|_\infty\}$ 和 $B_n = \{x : |f_n(x)| > \|f_n\|_\infty\}$。 这些集合都是零测集。令 $N = (\bigcup_{n,m} A_{n,m}) \cup (\bigcup_n B_n)$，则 $m(N) = 0$。 在 $X \setminus N$ 上，$\{f_n(x)\}$ 是一致 Cauchy 序列，因此一致收敛于某个 $f(x)$。 易证 $f \in L^\infty$ 且 $\|f_n - f\|_\infty \to 0$。

练习 3 (深度：$L^2$ 的完备性证明)

利用 Riesz-Fischer 定理的思路，简述为什么 $L^p$ 空间是完备的。

Check Solution

核心在于：从 $L^p$ 的 Cauchy 序列中抽取一个快速收敛子列 $\{f_{n_k}\}$，使得 $\|f_{n_{k+1}} - f_{n_k}\|_p < 2^{-k}$。 定义级数 $g(x) = |f_{n_1}(x)| + \sum_{k=1}^\infty |f_{n_{k+1}}(x) - f_{n_k}(x)|$。 利用 Minkowski 不等式证明 $g \in L^p$，从而 $g(x) < \infty$ a.e.。 这意味着级数 $f_{n_1}(x) + \sum (f_{n_{k+1}}(x) - f_{n_k}(x))$ 绝对收敛 a.e.，其部分和即子列 $f_{n_k}$ 收敛于某个 $f$。 最后利用受控收敛定理证明 $\|f_n - f\|_p \to 0$。

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八、章节衔接

• 前置章节：Lebesgue 测度 与 Lebesgue 积分
• 配套练习：实变函数专题练习（C 组）

掌握本章后，可以继续进入 Sobolev 空间、Fourier 分析与偏微分方程弱解理论。

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九、配套练习跳转

• 进入实变函数专题练习总页
• C 组：$L^p$ 空间与估计（建议对应本章）
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