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多项式

本章面向高等代数核心内容：整除理论、最大公因式、根与重根、插值与分解思路。

1. 除法算法与整除​

对任意 f(x),g(x)∈F[x]f(x),g(x)\in\mathbb{F}[x] 且 g(x)≠0g(x)\neq0，存在唯一 q(x),r(x)q(x),r(x) 使

f(x)=q(x)g(x)+r(x),deg⁡r<deg⁡g. f(x)=q(x)g(x)+r(x),\quad \deg r<\deg g.
  • 若 r(x)=0r(x)=0，称 g(x)∣f(x)g(x)\mid f(x)。
  • 可据此定义多项式的最大公因式并执行欧几里得算法。

例题 1：多项式除法​

求 (x3+2x2−1)÷(x+1)(x^3+2x^2-1)\div(x+1)。

解：

x3+2x2−1=(x+1)(x2+x−1)+0. x^3+2x^2-1=(x+1)(x^2+x-1)+0.

故商为 x2+x−1x^2+x-1，余式为 0。

2. 因式定理与重根判别​

  • 因式定理：f(a)=0⇔(x−a)∣f(x)f(a)=0 \Leftrightarrow (x-a)\mid f(x)。
  • 若 (x−a)k∣f(x)(x-a)^k\mid f(x) 且 (x−a)k+1∤f(x)(x-a)^{k+1}\nmid f(x)，则 aa 为 kk 重根。
  • aa 为重根当且仅当 f(a)=f′(a)=0f(a)=f'(a)=0（至少二重）。

例题 2：判断重根​

设

f(x)=x3−3x2+3x−1. f(x)=x^3-3x^2+3x-1.

解：

f(x)=(x−1)3. f(x)=(x-1)^3.

所以 x=1x=1 是三重根。也可检验

f(1)=0, f′(x)=3(x−1)2, f′(1)=0. f(1)=0,\ f'(x)=3(x-1)^2,\ f'(1)=0.

3. Vieta 公式与构造问题​

对首一二次多项式

x2−sx+p=0 x^2-sx+p=0

其根 α,β\alpha,\beta 满足

α+β=s,αβ=p. \alpha+\beta=s,\quad \alpha\beta=p.

高次情形同理可由系数构造对称式。

例题 3：由根的关系反求多项式​

设二次多项式有根 α,β\alpha,\beta，且

α+β=5,αβ=6. \alpha+\beta=5,\quad \alpha\beta=6.

求该首一多项式。

解：由 Vieta 公式，所求为

x2−5x+6. x^2-5x+6.

4. 配套练习（折叠答案）​

练习 1​

用因式定理判断 x=2x=2 是否为

f(x)=x3−3x2+4 f(x)=x^3-3x^2+4

的根。

点击查看过程与答案
f(2)=8−12+4=0. f(2)=8-12+4=0.

所以 x=2x=2 是该多项式的根，且 (x−2)∣f(x)(x-2)\mid f(x)。

练习 2​

求 gcd⁡(x3−1, x2−1)\gcd(x^3-1,\ x^2-1)。

点击查看过程与答案

分解：

x3−1=(x−1)(x2+x+1),x2−1=(x−1)(x+1). x^3-1=(x-1)(x^2+x+1),\quad x^2-1=(x-1)(x+1).

公共因子为 x−1x-1（取首一），故

gcd⁡(x3−1,x2−1)=x−1. \gcd(x^3-1,x^2-1)=x-1.

练习 3​

已知三次首一多项式的三个根为 1,2,31,2,3，写出该多项式。

点击查看过程与答案
f(x)=(x−1)(x−2)(x−3)=x3−6x2+11x−6. f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)=x^3-6x^2+11x-6.