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第一章 实数集与函数

本章聚焦数学分析的语言基础：实数完备性、确界思想、函数复合与反函数。目标不是“会用结论”，而是建立后续极限与连续理论所需的严格表达习惯。

一、核心定义与定理​

1. 上下确界与完备性​

设非空集合 A⊂RA\subset\mathbb{R}。

  • 若存在 M∈RM\in\mathbb{R} 使得对任意 x∈Ax\in A 都有 x≤Mx\le M，称 AA 有上界。
  • 若 β\beta 是 AA 的上界且任意上界 MM 都满足 β≤M\beta\le M，称 β=sup⁡A\beta=\sup A。
确界存在定理

任一非空有上界实数集必有上确界；任一非空有下界实数集必有下确界。

该定理本质上等价于实数完备性，后续单调有界定理、闭区间套、Bolzano-Weierstrass 都以此为基础。

2. 阿基米德性质与稠密性​

  • 阿基米德性质：对任意 x∈Rx\in\mathbb{R}，存在 n∈Nn\in\mathbb{N} 使 n>xn>x。
  • 有理数稠密性：任意 a<ba<b，存在 q∈Qq\in\mathbb{Q} 使 a<q<ba<q<b。

这两个性质保证了“离散量可逼近连续量”，是 ϵ\epsilon-语言可操作的关键。

3. 函数复合与反函数判定​

设 u=g(x)u=g(x)，y=f(u)y=f(u)。

  • 复合 f∘gf\circ g 有定义的必要条件：g(Dg)⊆Dfg(D_g)\subseteq D_f。
  • 反函数 f−1f^{-1} 存在的充分条件：ff 在区间上严格单调且值域可确定。

二、教材化例题（4 题）​

例题 1：确界计算​

设 A={n−1n:n∈N+}A=\{\frac{n-1}{n}:n\in\mathbb{N}_+\}，求 sup⁡A\sup A 与 inf⁡A\inf A。

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n−1n=1−1n<1\frac{n-1}{n}=1-\frac1n<1，故 1 是上界。

对任意 ϵ>0\epsilon>0，取 n>1/ϵn>1/\epsilon，则

1−1n>1−ϵ,1-\frac1n>1-\epsilon,

所以 1 是最小上界，即 sup⁡A=1\sup A=1。

当 n=1n=1 时取到最小值 0，且所有项非负，故 inf⁡A=0\inf A=0。

例题 2：集合运算与确界​

设 A,BA,B 非空有界，证明 sup⁡(A+B)=sup⁡A+sup⁡B\sup(A+B)=\sup A+\sup B，其中 A+B={a+b:a∈A,b∈B}A+B=\{a+b:a\in A,b\in B\}。

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先证上界：任意 a+b∈A+Ba+b\in A+B，有 a≤sup⁡A,b≤sup⁡Ba\le\sup A,b\le\sup B，故

a+b≤sup⁡A+sup⁡B.a+b\le\sup A+\sup B.

再证最小性：任意 ϵ>0\epsilon>0，取

aϵ>sup⁡A−ϵ/2,bϵ>sup⁡B−ϵ/2,a_\epsilon>\sup A-\epsilon/2,\quad b_\epsilon>\sup B-\epsilon/2,

则

aϵ+bϵ>sup⁡A+sup⁡B−ϵ.a_\epsilon+b_\epsilon>\sup A+\sup B-\epsilon.

故 sup⁡(A+B)=sup⁡A+sup⁡B\sup(A+B)=\sup A+\sup B。

例题 3：复合函数定义域​

求函数

h(x)=ln⁡(1−x2)h(x)=\sqrt{\ln(1-x^2)}

的定义域。

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条件 1：ln⁡(1−x2)\ln(1-x^2) 有意义，需 1−x2>01-x^2>0，即 ∣x∣<1|x|<1。

条件 2：根号内非负，需 ln⁡(1−x2)≥0\ln(1-x^2)\ge0，即 1−x2≥11-x^2\ge1，得 x2≤0x^2\le0。

两条件合并得 x=0x=0。

定义域为 {0}\{0\}。

例题 4：反函数存在性​

证明 f(x)=x+exf(x)=x+e^x 在 R\mathbb{R} 上可逆。

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f′(x)=1+ex>0,f'(x)=1+e^x>0,

故 ff 严格递增，从而单射。

又

lim⁡x→−∞(x+ex)=−∞,lim⁡x→+∞(x+ex)=+∞,\lim_{x\to-\infty}(x+e^x)=-\infty,\qquad \lim_{x\to+\infty}(x+e^x)=+\infty,

值域为 R\mathbb{R}，故满射。

因此 f:R→Rf:\mathbb{R}\to\mathbb{R} 双射，反函数存在。

三、章内练习（折叠答案）​

练习 1：上确界​

求集合 E=(0,2)∩QE=(0,2)\cap\mathbb{Q} 的上确界与下确界。

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有 E⊂(0,2)E\subset(0,2)，任意元都小于 2；对任意 ϵ>0\epsilon>0，区间 (2−ϵ,2)(2-\epsilon,2) 内存在有理数，所以可逼近 2。

同理可逼近 0 且不取到 0。

答案：sup⁡E=2,inf⁡E=0\sup E=2,\inf E=0。

练习 2：绝对值不等式​

证明：∣sup⁡A−sup⁡B∣≤sup⁡{∣a−b∣:a∈A,b∈B}\big|\sup A-\sup B\big|\le\sup\{|a-b|:a\in A,b\in B\}（假设两边存在）。

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令 M=sup⁡{∣a−b∣}M=\sup\{|a-b|\}。对任意 a∈A,b∈Ba\in A,b\in B，有 a≤b+Ma\le b+M，取上确界得

sup⁡A≤sup⁡B+M.\sup A\le\sup B+M.

交换 A,BA,B 得 sup⁡B≤sup⁡A+M\sup B\le\sup A+M，合并即

∣sup⁡A−sup⁡B∣≤M.|\sup A-\sup B|\le M.

练习 3：复合函数定义域​

求

g(x)=ln⁡ ⁣(x−1x+2)g(x)=\ln\!\left(\sqrt{\frac{x-1}{x+2}}\right)

的定义域。

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根号内需严格大于 0（因为外层有对数）：

x−1x+2>0.\frac{x-1}{x+2}>0.

解不等式得 x∈(−∞,−2)∪(1,+∞)x\in(-\infty,-2)\cup(1,+\infty)。

练习 4：反函数导数​

设 f(x)=x3+xf(x)=x^3+x，记其反函数为 f−1f^{-1}，求 (f−1)′(0)(f^{-1})'(0)。

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先求 f(x0)=0f(x_0)=0，得 x0=0x_0=0。

由反函数求导公式

(f−1)′(0)=1f′(0)=13⋅02+1=1.(f^{-1})'(0)=\frac1{f'(0)}=\frac1{3\cdot0^2+1}=1.

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四、练习库入口​

编者注：第一章最重要的能力是“把直觉翻译成定义”，尤其是对“上界”和“最小上界”的区分。