不定积分：寻找反导数的艺术

如果说微分是把一个复杂的整体拆解为无穷小的碎片，那么积分就是将这些碎片重新拼装。不定积分作为求导的逆运算，是整个积分学的基石。与求导的机械化法则不同，求不定积分是一项充满创造性和试错的“艺术”。

一、 核心理论与基本方法

1. 原函数与不定积分的定义

原函数：如果在区间 $I$ 上，对于任意 $x$ 都有 $F'(x) = f(x)$ 或 $dF(x) = f(x)dx$，则称 $F(x)$ 为 $f(x)$ 在该区间上的一个原函数。 不定积分：函数 $f(x)$ 的所有原函数的全体称为 $f(x)$ 的不定积分，记作：

$\int f(x) dx = F(x) + C$

其中 $\int$ 是积分号，$f(x)$ 是被积函数，$C$ 是任意常数。

核心性质：

• $(\int f(x) dx)' = f(x)$
• $\int F'(x) dx = F(x) + C$
• 线性性质：$\int [a f(x) + b g(x)] dx = a \int f(x) dx + b \int g(x) dx$

2. 第一类换元法（凑微分法）

这是最常用的积分技巧，核心思想是将积分变量与被积函数的一部分结合，凑成一个新变量的微分。 公式：若 $\int f(u) du = F(u) + C$，则：

$\int f(\phi(x)) \phi'(x) dx = \int f(\phi(x)) d(\phi(x)) = F(\phi(x)) + C$

常见凑微分类型：

• $x dx = \frac{1}{2} d(x^2)$
• $\frac{1}{x} dx = d(\ln|x|)$
• $\cos x dx = d(\sin x)$
• $e^x dx = d(e^x)$

3. 第二类换元法 (Integration by Substitution)

当凑微分法失效，特别是遇到复杂的根式或分式时，我们主动引入一个新变量 $x = \psi(t)$。 常用代换类型：

1. 三角代换：
   • 遇到 $\sqrt{a^2 - x^2}$，令 $x = a \sin t$。
   • 遇到 $\sqrt{x^2 + a^2}$，令 $x = a \tan t$。
   • 遇到 $\sqrt{x^2 - a^2}$，令 $x = a \sec t$。
2. 倒代换 ($x = 1/t$)：常用于分母次数显著高于分子的情形。
3. 根式代换：令 $t = \sqrt[n]{ax+b}$ 或 $t = \sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}}$ 消去根号。

4. 分部积分法 (Integration by Parts)

源于乘积的求导法则 $(uv)' = u'v + uv'$。 公式：

$\int u dv = uv - \int v du$

核心技巧：

• LIATE 法则：优先选反对幂三指作为 $u$。
• 循环型：如 $\int e^{ax} \sin bx dx$，需两次分部积分后移项求解。
• 递推型：用于求解含 $n$ 次幂的积分（如 $I_n = \int \sin^n x dx$）。

原函数存在定理

并非所有函数都有原函数。连续函数一定有原函数。但即便有原函数，也未必能用“初等函数”表示出来（如 $\int e^{-x^2} dx, \int \frac{\sin x}{x} dx$ 等著名的“积不出”函数）。

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二、 有理函数与特殊函数积分技巧

1. 有理函数积分 (Rational Functions)

对于 $R(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$：

1. 化为真分式：若 $\deg(P) \ge \deg(Q)$，先进行多项式除法。

2. 部分分式分解：根据 $Q(x)$ 的因式分解（实数域内必可分解为一次项与二次项之积）：

   • $\frac{1}{(x-a)^k} \to \frac{A_1}{x-a} + \dots + \frac{A_k}{(x-a)^k}$
   • $\frac{Mx+N}{(x^2+px+q)^k} \to$ 利用配方化为 $\int \frac{dt}{(t^2+1)^k}$ 类型。

3. Hermite-Ostrogradsky 方法： 当分母 $Q(x)$ 含有高次重根时，部分分式分解极其繁琐。利用此方法可将积分写为：

$\int \frac{P(x)}{Q(x)} dx = \frac{P_1(x)}{Q_1(x)} + \int \frac{P_2(x)}{Q_2(x)} dx$

其中：

• $Q_1(x) = \gcd(Q(x), Q'(x))$（包含所有重因式，但次数减1）。
• $Q_2(x) = Q(x) / Q_1(x)$（包含所有因式，但均为单因式）。
• $P_1(x), P_2(x)$ 为待定系数多项式，$\deg(P_1) < \deg(Q_1), \deg(P_2) < \deg(Q_2)$。 步骤：对等式两边求导，利用待定系数法求解 $P_1, P_2$。这避免了对高次幂部分的直接积分。

2. 三角函数有理式技巧 (Trigonometric Rational Expressions)

对于 $\int R(\sin x, \cos x) dx$：

1. 万能代换 (Universal Substitution)：令 $t = \tan \frac{x}{2}$，则 $\sin x = \frac{2t}{1+t^2}, \cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}, dx = \frac{2 dt}{1+t^2}$。适用于所有情况，但计算量往往最大。
2. 特殊对称代换：
   • 若 $R(-\sin x, \cos x) = -R(\sin x, \cos x)$（关于 $\sin x$ 奇），令 $u = \cos x$。
   • 若 $R(\sin x, -\cos x) = -R(\sin x, \cos x)$（关于 $\cos x$ 奇），令 $u = \sin x$。
   • 若 $R(-\sin x, -\cos x) = R(\sin x, \cos x)$（关于 $\sin x, \cos x$ 均奇或均偶），令 $u = \tan x$。

3. 无理函数积分 (Euler Substitutions)

对于 $\int R(x, \sqrt{ax^2+bx+c}) dx$，利用 Euler 代换：

1. 若 $a > 0$，令 $\sqrt{ax^2+bx+c} = \pm \sqrt{a}x + t$。
2. 若 $c > 0$，令 $\sqrt{ax^2+bx+c} = xt \pm \sqrt{c}$。
3. 若 $ax^2+bx+c = a(x-x_1)(x-x_2)$，令 $\sqrt{ax^2+bx+c} = t(x-x_1)$。

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三、 深度例题：技巧的综合与对称性

深度例题 1：倒代换与对称构造

求不定积分：$I = \int \frac{x^2+1}{x^4+1} dx$。

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解析过程

这是一个非常经典的高阶积分，利用代数构造。

1. 分子分母同时除以 $x^2$：

$I = \int \frac{1 + \frac{1}{x^2}}{x^2 + \frac{1}{x^2}} dx$

2. 观察分子与分母的关系： 注意到 $(x - \frac{1}{x})' = 1 + \frac{1}{x^2}$。 而分母可以凑成：$x^2 + \frac{1}{x^2} = (x - \frac{1}{x})^2 + 2$。
3. 凑微分与换元： 令 $u = x - \frac{1}{x}$，则 $du = (1 + \frac{1}{x^2}) dx$。

$I = \int \frac{du}{u^2 + 2}$

4. 回代 x：

$I = \frac{1}{\sqrt{2}} \arctan \frac{x - 1/x}{\sqrt{2}} + C = \frac{1}{\sqrt{2}} \arctan \frac{x^2-1}{\sqrt{2}x} + C$

答案

$\frac{1}{\sqrt{2}} \arctan \frac{x^2-1}{\sqrt{2}x} + C$

深度例题 2：分部积分与方程法结合（无理函数）

求不定积分：$I = \int \sqrt{a^2 - x^2} dx$。

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解析过程

除了常见的三角代换，本题也可以通过分部积分直接求解。

1. 设定分部积分项： 设 $u = \sqrt{a^2 - x^2}, dv = dx$。 则 $du = \frac{-x}{\sqrt{a^2 - x^2}} dx, v = x$。
2. 应用分部积分公式：

$I = x\sqrt{a^2 - x^2} + \int \frac{x^2}{\sqrt{a^2 - x^2}} dx$

3. 分子加减 $a^2$ 构造原积分：

$\int \frac{x^2}{\sqrt{a^2 - x^2}} dx = \int \frac{a^2 - (a^2 - x^2)}{\sqrt{a^2 - x^2}} dx = a^2 \int \frac{dx}{\sqrt{a^2 - x^2}} - I$

4. 建立关于 I 的方程：

$I = x\sqrt{a^2 - x^2} + a^2 \arcsin \frac{x}{a} - I$

5. 解出 I：

$I = \frac{x}{2}\sqrt{a^2 - x^2} + \frac{a^2}{2} \arcsin \frac{x}{a} + C$

答案

$\frac{x}{2}\sqrt{a^2 - x^2} + \frac{a^2}{2} \arcsin \frac{x}{a} + C$

深度例题 3：分部积分的嵌套与循环

求不定积分：$\int \sin(\ln x) dx$。

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解析过程

方法一：代换后分部积分 令 $u = \ln x, x = e^u, dx = e^u du$。 $\int e^u \sin u du$，此为典型的循环型，两次分部积分得 $\frac{e^u}{2}(\sin u - \cos u) + C$。

方法二：直接分部积分 设 $I = \int \sin(\ln x) dx$。 $u = \sin(\ln x), dv = dx \implies du = \frac{\cos(\ln x)}{x} dx, v = x$。 $I = x\sin(\ln x) - \int \cos(\ln x) dx$。 对 $\int \cos(\ln x) dx$ 再次分部积分： $u = \cos(\ln x), dv = dx \implies du = -\frac{\sin(\ln x)}{x} dx, v = x$。 $\int \cos(\ln x) dx = x\cos(\ln x) + \int \sin(\ln x) dx = x\cos(\ln x) + I$。 代回原式：$I = x\sin(\ln x) - [x\cos(\ln x) + I] \implies 2I = x[\sin(\ln x) - \cos(\ln x)]$。

答案

$\frac{x}{2} [\sin(\ln x) - \cos(\ln x)] + C$

深度例题 4：有理函数的高阶配方技巧

求不定积分：$\int \frac{dx}{(x^2+1)^2}$。

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解析过程

这是求解 $I_n = \int \frac{dx}{(x^2+a^2)^n}$ 递推公式的基础。

1. 分子拆分： $1 = (x^2+1) - x^2$。 $\int \frac{dx}{(x^2+1)^2} = \int \frac{1}{x^2+1} dx - \int \frac{x^2}{(x^2+1)^2} dx = \arctan x - \int x \cdot \frac{x}{(x^2+1)^2} dx$。
2. 对第二项分部积分： 设 $u = x, dv = \frac{x}{(x^2+1)^2} dx \implies du = dx, v = -\frac{1}{2(x^2+1)}$。 $\int \frac{x^2}{(x^2+1)^2} dx = -\frac{x}{2(x^2+1)} + \frac{1}{2} \int \frac{dx}{x^2+1} = -\frac{x}{2(x^2+1)} + \frac{1}{2}\arctan x$。
3. 合并： $\arctan x - [-\frac{x}{2(x^2+1)} + \frac{1}{2}\arctan x] = \frac{1}{2}\arctan x + \frac{x}{2(x^2+1)} + C$。

答案

$\frac{1}{2}\arctan x + \frac{x}{2(x^2+1)} + C$

深度例题 5：欧拉代换实战

求不定积分：$\int \frac{dx}{x + \sqrt{x^2+x+1}}$。

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解析过程

根式下 $a=1>0$，采用第一类 Euler 代换。

1. 设代换：令 $\sqrt{x^2+x+1} = t - x$。
2. 解出 x： $x^2+x+1 = t^2 - 2tx + x^2 \implies x(1+2t) = t^2-1 \implies x = \frac{t^2-1}{2t+1}$。
3. 微分： $dx = \frac{2t(2t+1) - 2(t^2-1)}{(2t+1)^2} dt = \frac{2t^2+2t+2}{(2t+1)^2} dt$。
4. 分母化简： $x + \sqrt{x^2+x+1} = t$。
5. 代入积分： $\int \frac{1}{t} \cdot \frac{2(t^2+t+1)}{(2t+1)^2} dt = \int \frac{2t^2+2t+2}{t(2t+1)^2} dt$。 利用部分分式分解：$\frac{2t^2+2t+2}{t(2t+1)^2} = \frac{2}{t} - \frac{3}{2t+1} - \frac{3}{(2t+1)^2}$。
6. 最终结果： $2\ln|t| - \frac{3}{2}\ln|2t+1| + \frac{3}{2(2t+1)} + C$。

答案

$2\ln|x+\sqrt{x^2+x+1}| - \frac{3}{2}\ln|2(x+\sqrt{x^2+x+1})+1| + \frac{3}{2[2(x+\sqrt{x^2+x+1})+1]} + C$

深度例题 6：万能代换的精简应用

求不定积分：$\int \frac{dx}{1+\sin x + \cos x}$。

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解析过程

令 $t = \tan \frac{x}{2}$。

1. 代换： $I = \int \frac{1}{1 + \frac{2t}{1+t^2} + \frac{1-t^2}{1+t^2}} \cdot \frac{2dt}{1+t^2} = \int \frac{2 dt}{2t+2} = \ln|t+1| + C$。
2. 回代： $\ln|1 + \tan \frac{x}{2}| + C$。

答案

$\ln|1 + \tan \frac{x}{2}| + C$

深度例题 7：配方法消去交叉项

求不定积分：$\int \frac{dx}{\sin^4 x + \cos^4 x}$。

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解析过程

1. 同除以 $\cos^4 x$： $I = \int \frac{\sec^4 x}{\tan^4 x + 1} dx = \int \frac{(1+\tan^2 x) \sec^2 x}{\tan^4 x + 1} dx$。
2. 换元：令 $u = \tan x, du = \sec^2 x dx$。 $I = \int \frac{1+u^2}{1+u^4} du = \int \frac{1+1/u^2}{u^2+1/u^2} du = \frac{1}{\sqrt{2}}\arctan \frac{u-1/u}{\sqrt{2}} + C$。
3. 回代： $\frac{1}{\sqrt{2}}\arctan \frac{\tan x - \cot x}{\sqrt{2}} + C$。

答案

$\frac{1}{\sqrt{2}}\arctan \frac{\tan x - \cot x}{\sqrt{2}} + C$

深度例题 8：指数函数代换技巧

求不定积分：$\int \frac{dx}{e^{2x} + e^x - 2}$。

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解析过程

1. 换元：令 $u = e^x, dx = \frac{du}{u}$。
2. 代入： $\int \frac{du}{u(u+2)(u-1)} = \int (-\frac{1}{2u} + \frac{1}{6(u+2)} + \frac{1}{3(u-1)}) du$。
3. 结果： $-\frac{1}{2}x + \frac{1}{6}\ln(e^x+2) + \frac{1}{3}\ln|e^x-1| + C$。

答案

$-\frac{1}{2}x + \frac{1}{6}\ln(e^x+2) + \frac{1}{3}\ln|e^x-1| + C$

深度例题 9：递推公式的推导（分部积分）

求 $I_n = \int \sin^n x dx$ 的递推公式。

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解析过程

$I_n = \int \sin^{n-1} x \sin x dx$。 设 $u = \sin^{n-1} x, dv = \sin x dx \implies du = (n-1)\sin^{n-2} x \cos x dx, v = -\cos x$。 $I_n = -\sin^{n-1} x \cos x + (n-1) \int \sin^{n-2} x \cos^2 x dx$ $I_n = -\sin^{n-1} x \cos x + (n-1) \int \sin^{n-2} x (1-\sin^2 x) dx$ $I_n = -\sin^{n-1} x \cos x + (n-1) I_{n-2} - (n-1) I_n$ $(n) I_n = -\sin^{n-1} x \cos x + (n-1) I_{n-2}$。

答案

$I_n = -\frac{1}{n} \sin^{n-1} x \cos x + \frac{n-1}{n} I_{n-2}$

深度例题 10：特殊凑微分技巧（反比例项）

求不定积分：$\int \frac{dx}{x\sqrt{x^{2n}+1}}$。

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解析过程

1. 变形：$I = \int \frac{dx}{x^{n+1}\sqrt{1+x^{-2n}}}$。
2. 换元：令 $t = x^{-2n} + 1, dt = -2n x^{-2n-1} dx$。 $I = -\frac{1}{2n} \int \frac{dt}{\sqrt{t}} = -\frac{1}{n} \sqrt{t} + C$。
3. 回代： $-\frac{1}{n} \sqrt{x^{-2n}+1} + C = -\frac{\sqrt{x^{2n}+1}}{nx^n} + C$。

答案

$-\frac{\sqrt{x^{2n}+1}}{nx^n} + C$

深度例题 11：分母含二次根式的倒代换

求不定积分：$\int \frac{dx}{(x+1)\sqrt{x^2+x}}$。

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解析过程

1. 倒代换：令 $x+1 = 1/t, dx = -1/t^2 dt$。
2. 根式化简：$\sqrt{x^2+x} = \sqrt{(1/t-1)^2+(1/t-1)} = \frac{\sqrt{1-t}}{t}$。
3. 代入：$-\int \frac{dt}{\sqrt{1-t}} = 2\sqrt{1-t} + C = 2\sqrt{\frac{x}{x+1}} + C$。

答案

$2\sqrt{\frac{x}{x+1}} + C$

深度例题 12：分部积分的隐蔽应用

求不定积分：$\int \sqrt{1+e^x} dx$。

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解析过程

1. 换元：令 $t = \sqrt{1+e^x}, e^x = t^2-1, x = \ln(t^2-1), dx = \frac{2t}{t^2-1} dt$。
2. 代入：$\int t \cdot \frac{2t}{t^2-1} dt = \int (2 + \frac{2}{t^2-1}) dt = 2t + \ln|\frac{t-1}{t+1}| + C$。
3. 回代：$2\sqrt{1+e^x} + \ln\frac{\sqrt{1+e^x}-1}{\sqrt{1+e^x}+1} + C$。

答案

$2\sqrt{1+e^x} + \ln\frac{\sqrt{1+e^x}-1}{\sqrt{1+e^x}+1} + C$

深度例题 13：Hermite-Ostrogradsky 方法实战

求不定积分：$I = \int \frac{dx}{(x^3+1)^2}$。

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解析过程

分母 $Q(x) = (x+1)^2(x^2-x+1)^2$，直接部分分式极其痛苦。

1. 分解分母：$Q_1 = \gcd(Q, Q') = (x+1)(x^2-x+1) = x^3+1$。 $Q_2 = Q/Q_1 = x^3+1$。
2. 设定形式：

$\int \frac{1}{(x^3+1)^2} dx = \frac{Ax^2+Bx+C}{x^3+1} + \int \frac{Dx^2+Ex+F}{x^3+1} dx$

3. 求导待定系数：两边求导并整理得 $A=0, B=1/3, C=0, D=0, E=2/3, F=0$。

$I = \frac{x}{3(x^3+1)} + \frac{2}{3} \int \frac{x}{x^3+1} dx$

4. 后续积分：利用部分分式分解 $\frac{x}{x^3+1}$。 $\frac{x}{x^3+1} = \frac{-1/3}{x+1} + \frac{x/3+1/3}{x^2-x+1}$。 积分得 $\frac{1}{6} \ln \frac{x^2-x+1}{(x+1)^2} + \frac{1}{\sqrt{3}} \arctan \frac{2x-1}{\sqrt{3}} + C$。

答案

$\frac{x}{3(x^3+1)} + \frac{1}{9} \ln \frac{x^2-x+1}{(x+1)^2} + \frac{2}{3\sqrt{3}} \arctan \frac{2x-1}{\sqrt{3}} + C$

深度例题 14：三角对称代换 ($u = \tan x$)

求不定积分：$\int \frac{dx}{\sin^2 x + 2\sin x \cos x + 3\cos^2 x}$。

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解析过程

被积函数满足 $R(-\sin x, - \cos x) = R(\sin x, \cos x)$。

1. 分子分母同除以 $\cos^2 x$： $I = \int \frac{\sec^2 x dx}{\tan^2 x + 2\tan x + 3}$。
2. 换元：令 $u = \tan x, du = \sec^2 x dx$。 $I = \int \frac{du}{u^2 + 2u + 3} = \int \frac{du}{(u+1)^2 + 2}$。
3. 结果： $\frac{1}{\sqrt{2}} \arctan \frac{\tan x + 1}{\sqrt{2}} + C$。

答案

$\frac{1}{\sqrt{2}} \arctan \frac{\tan x + 1}{\sqrt{2}} + C$

深度例题 15：复数域分解视角的简化（选读）

求不定积分：$\int \frac{dx}{x^4+1}$。

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解析过程

1. 分母配方：$x^4+1 = (x^2+1)^2 - 2x^2 = (x^2+\sqrt{2}x+1)(x^2-\sqrt{2}x+1)$。
2. 部分分式分解： $\frac{1}{x^4+1} = \frac{1}{2\sqrt{2}} \left( \frac{x+\sqrt{2}}{x^2+\sqrt{2}x+1} - \frac{x-\sqrt{2}}{x^2-\sqrt{2}x+1} \right)$。
3. 分项积分：利用配方与凑微分。 结果包含 $\ln$ 项与 $\arctan$ 项。

答案

$\frac{1}{4\sqrt{2}} \ln \frac{x^2+\sqrt{2}x+1}{x^2-\sqrt{2}x+1} + \frac{1}{2\sqrt{2}} (\arctan(\sqrt{2}x+1) + \arctan(\sqrt{2}x-1)) + C$

深度例题 16：分部积分与代数构造的巅峰

求不定积分：$\int \frac{x^2 dx}{(x\sin x + \cos x)^2}$。

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解析过程

这是一道经典的竞赛/考研高阶题。

1. 观察分母导数：$(x\sin x + \cos x)' = \sin x + x\cos x - \sin x = x\cos x$。
2. 构造分部积分： $I = \int \frac{x}{\cos x} \cdot \frac{x\cos x}{(x\sin x + \cos x)^2} dx$。 设 $u = \frac{x}{\cos x}, dv = \frac{x\cos x}{(x\sin x + \cos x)^2} dx$。 则 $du = \frac{\cos x + x\sin x}{\cos^2 x} dx, v = -\frac{1}{x\sin x + \cos x}$。
3. 套用公式： $I = -\frac{x}{\cos x (x\sin x + \cos x)} + \int \frac{\cos x + x\sin x}{\cos^2 x} \cdot \frac{1}{x\sin x + \cos x} dx$。 $I = -\frac{x}{\cos x (x\sin x + \cos x)} + \int \sec^2 x dx$。
4. 整理： $I = \tan x - \frac{x}{\cos x (x\sin x + \cos x)} + C$。

答案

$\frac{\sin x - x\cos x}{x\sin x + \cos x} + C$

深度例题 17：反代换与根式处理

求不定积分：$\int \frac{dx}{x \sqrt{1+x+x^2}}$。

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解析过程

1. 倒代换：令 $x = 1/t, dx = -1/t^2 dt$。 $I = \int \frac{-1/t^2 dt}{1/t \sqrt{1 + 1/t + 1/t^2}} = -\int \frac{dt}{\sqrt{t^2+t+1}}$。
2. 配方积分： $-\int \frac{dt}{\sqrt{(t+1/2)^2 + 3/4}} = -\ln|t + 1/2 + \sqrt{t^2+t+1}| + C$。
3. 回代 x： $-\ln|\frac{1}{x} + \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{x^2+x+1}}{x}| + C$。

答案

$-\ln|\frac{2+x+2\sqrt{x^2+x+1}}{2x}| + C$

深度例题 18：万能代换的“暴力”与美学

求不定积分：$\int \frac{dx}{2+\cos x}$。

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解析过程

令 $t = \tan \frac{x}{2}$。

1. 代入公式： $I = \int \frac{1}{2 + \frac{1-t^2}{1+t^2}} \cdot \frac{2 dt}{1+t^2} = \int \frac{2 dt}{2+2t^2+1-t^2} = \int \frac{2 dt}{t^2+3}$。
2. 积分： $I = \frac{2}{\sqrt{3}} \arctan \frac{t}{\sqrt{3}} + C$。

答案

$\frac{2}{\sqrt{3}} \arctan (\frac{1}{\sqrt{3}} \tan \frac{x}{2}) + C$

深度例题 19：对数与根式的综合

求不定积分：$\int \frac{\ln(x+\sqrt{1+x^2})}{\sqrt{1+x^2}} dx$。

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解析过程

1. 观察导数关系：注意到 $(\ln(x+\sqrt{1+x^2}))' = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$。
2. 凑微分： $I = \int \ln(x+\sqrt{1+x^2}) d(\ln(x+\sqrt{1+x^2}))$。
3. 换元积分：设 $u = \ln(x+\sqrt{1+x^2})$，则 $I = \int u du = \frac{1}{2} u^2 + C$。

答案

$\frac{1}{2} [\ln(x+\sqrt{1+x^2})]^2 + C$

深度例题 20：有理分母的巧妙凑微分

求不定积分：$\int \frac{dx}{x(x^n+1)}$。

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解析过程

1. 分子分母同乘 $x^{n-1}$： $I = \int \frac{x^{n-1} dx}{x^n(x^n+1)}$。
2. 换元：令 $u = x^n, du = n x^{n-1} dx$。 $I = \frac{1}{n} \int \frac{du}{u(u+1)} = \frac{1}{n} \int (\frac{1}{u} - \frac{1}{u+1}) du$。
3. 结果： $\frac{1}{n} \ln |\frac{u}{u+1}| + C = \frac{1}{n} \ln \frac{x^n}{x^n+1} + C$。

答案

$\frac{1}{n} \ln \frac{x^n}{x^n+1} + C$

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Ex 8.1换元法与分部积分综合

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编者注：不定积分是寻找反导数的艺术。掌握了不定积分，你就掌握了微积分基本定理的计算核心。