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导数与微分：瞬时变化的数学显微镜

微积分的核心思想是以直代曲、以恒定代变化。导数正是寻找这条“切线”的工具，而微分则是利用这条切线进行局部线性逼近的理论基础。本章从定义出发，系统梳理求导法则、高阶导数与典型证明技巧。

一、 导数与微分的核心理论​

1. 导数的严格定义​

设函数 y=f(x)y = f(x) 在点 x0x_0 的某个邻域内有定义。当自变量 xx 在 x0x_0 处取得增量 Δx\Delta x 时，相应的函数取得增量 Δy=f(x0+Δx)−f(x0)\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)。 如果 Δy\Delta y 与 Δx\Delta x 之比当 Δx→0\Delta x \to 0 时的极限存在，则称函数 f(x)f(x) 在点 x0x_0 处可导，并称这个极限为函数 f(x)f(x) 在点 x0x_0 处的导数，记为 f′(x0)f'(x_0)：

f′(x0)=lim⁡Δx→0f(x0+Δx)−f(x0)Δx=lim⁡x→x0f(x)−f(x0)x−x0f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}

可导必连续，但连续不一定可导。例如 f(x)=∣x∣f(x) = |x| 在 x=0x=0 处连续，但左右导数不相等。

2. 微分与线性主部​

若函数在点 x0x_0 处满足

Δy=AΔx+o(Δx),\Delta y = A\Delta x + o(\Delta x),

则称函数在该点可微，且 AΔxA\Delta x 称为微分，记作 dydy。一元情形下可导与可微等价，并有

dy=f′(x0)dx.dy = f'(x_0)dx.

这意味着当 Δx\Delta x 很小时，函数真实增量 Δy\Delta y 可由线性近似 dydy 高精度替代。

3. 高阶导数与莱布尼茨公式​

若 f′(x)f'(x) 可导，则定义二阶导数 f′′(x)f''(x)，依此得到 nn 阶导数 f(n)(x)f^{(n)}(x)。对乘积函数有

(uv)(n)=∑k=0n(nk)u(n−k)v(k).(uv)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}u^{(n-k)}v^{(k)}.

二、 典型例题（定义法、法则法、参数法）​

例题 1：定义法判定可导性​

设

f(x)={x2sin⁡1x,x≠0,0,x=0. f(x)= \begin{cases} x^2\sin\frac{1}{x}, & x\ne 0,\\ 0, & x=0. \end{cases}

求 f′(0)f'(0)，并判断 f′f' 在 00 点连续性。

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f′(0)=lim⁡x→0x2sin⁡(1/x)x=lim⁡x→0xsin⁡(1/x)=0. f'(0)=\lim_{x\to 0}\frac{x^2\sin(1/x)}{x}=\lim_{x\to 0}x\sin(1/x)=0.

当 x≠0x\ne 0 时，

f′(x)=2xsin⁡1x−cos⁡1x. f'(x)=2x\sin\frac1x-\cos\frac1x.

第一项趋于 00，第二项振荡无极限，因此 lim⁡x→0f′(x)\lim_{x\to0}f'(x) 不存在。

答案：f′(0)=0f'(0)=0，但 f′f' 在 00 处不连续。

例题 2：对数求导与参数函数​

设 y=(x2+1)xy=(x^2+1)^x（x>−1x>-1），求 y′y'。

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取对数：ln⁡y=xln⁡(x2+1)\ln y=x\ln(x^2+1)。

两边求导：

y′y=ln⁡(x2+1)+x⋅2xx2+1. \frac{y'}{y}=\ln(x^2+1)+x\cdot\frac{2x}{x^2+1}.

故

y′=(x2+1)x[ln⁡(x2+1)+2x2x2+1]. y'=(x^2+1)^x\left[\ln(x^2+1)+\frac{2x^2}{x^2+1}\right].

例题 3：高阶导数模板​

求 y=x2e2xy=x^2e^{2x} 的 nn 阶导数。

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令 u=e2x,v=x2u=e^{2x},v=x^2，由莱布尼茨公式：

y(n)=(n0)u(n)v+(n1)u(n−1)v′+(n2)u(n−2)v′′. y^{(n)}=\binom{n}{0}u^{(n)}v+\binom{n}{1}u^{(n-1)}v'+\binom{n}{2}u^{(n-2)}v''.

因 v(k)=0 (k≥3)v^{(k)}=0\,(k\ge 3)，只保留三项，化简得

y(n)=2n−2e2x[4x2+4nx+n(n−1)]. y^{(n)}=2^{n-2}e^{2x}[4x^2+4nx+n(n-1)].

例题 4：微分近似与误差阶​

估算 4.1\sqrt{4.1}，并给出一阶线性近似。

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设 f(x)=xf(x)=\sqrt{x}，在 x0=4x_0=4 处：

f(4)=2,f′(4)=14. f(4)=2,\quad f'(4)=\frac{1}{4}.

取 Δx=0.1\Delta x=0.1，则

Δy≈dy=f′(4)Δx=14⋅0.1=0.025. \Delta y\approx dy=f'(4)\Delta x=\frac14\cdot0.1=0.025.

故

4.1=f(4.1)≈f(4)+dy=2.025. \sqrt{4.1}=f(4.1)\approx f(4)+dy=2.025.

三、 配套练习（折叠答案）​

练习 1：分段函数可导判定​

设

f(x)={ax+b,x≥1,ln⁡x,0<x<1, f(x)=\begin{cases} ax+b, & x\ge 1,\\ \ln x, & 0<x<1, \end{cases}

求 a,ba,b 使得 ff 在 x=1x=1 处可导。

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连续给出 a+b=ln⁡1=0a+b=\ln1=0，故 b=−ab=-a。

左右导数相等：左导数 1/x∣x=1=11/x|_{x=1}=1，右导数为 aa，故 a=1a=1。

因此 b=−1b=-1。

练习 2：反函数求导​

设 y=x+ln⁡xy=x+\ln x（x>0x>0）定义反函数 x=φ(y)x=\varphi(y)，求 φ′(0)\varphi'(0)。

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先解 y=0y=0 对应点：x+ln⁡x=0x+\ln x=0，显然 x=1x=1。

由反函数求导公式

φ′(y0)=1f′(x0),f′(x)=1+1x. \varphi'(y_0)=\frac{1}{f'(x_0)},\quad f'(x)=1+\frac1x.

故

φ′(0)=11+1=12. \varphi'(0)=\frac{1}{1+1}=\frac12.

练习 3：高阶导数​

求 y=exsin⁡xy=e^{x}\sin x 的 nn 阶导数通项。

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用复数法：exsin⁡x=ℑ e(1+i)xe^x\sin x=\Im\,e^{(1+i)x}。

y(n)=ℑ (1+i)ne(1+i)x=2n/2exsin⁡(x+nπ4). y^{(n)}=\Im\,(1+i)^n e^{(1+i)x}=2^{n/2}e^x\sin\left(x+\frac{n\pi}{4}\right).

练习 4：微分近似​

用微分估算 8.23\sqrt[3]{8.2}。

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设 f(x)=x1/3f(x)=x^{1/3}，取 x0=8x_0=8，f(8)=2f(8)=2，f′(x)=13x2/3f'(x)=\frac{1}{3x^{2/3}}，故 f′(8)=112f'(8)=\frac1{12}。

Δx=0.2\Delta x=0.2，则 dy≈112⋅0.2=160≈0.01667dy\approx\frac1{12}\cdot0.2=\frac1{60}\approx0.01667。

所以 8.23≈2.01667\sqrt[3]{8.2}\approx2.01667。

四、 章节联动练习入口​

编者注：导数的学习关键不在公式记忆，而在“定义、运算、近似、证明”四条线并行训练。