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定积分：Riemann 积分、性质与微积分基本定理

定积分是微积分学的核心，它通过无穷小量的累加解决了面积、功、质量等连续量的求和问题。本章将从严格的 Riemann 定义出发，引入达布大和理论，探讨定积分的深刻性质及其与微分学的内在联系。

一、 定积分的严格理论：Riemann 积分与 Darboux 和​

1. Riemann 积分的严格定义​

设函数 f(x)f(x) 在区间 [a,b][a, b] 上有界。对 [a,b][a, b] 进行一个划分 P:a=x0<x1<⋯<xn=bP: a = x_0 < x_1 < \dots < x_n = b。记 Δxi=xi−xi−1\Delta x_i = x_i - x_{i-1}，λ(P)=max⁡1≤i≤nΔxi\lambda(P) = \max_{1 \le i \le n} \Delta x_i（称为划分的模）。在每个小区间 [xi−1,xi][x_{i-1}, x_i] 上任取一点 ξi\xi_i，构造 Riemann 和：

S(f,P,{ξi})=∑i=1nf(ξi)ΔxiS(f, P, \{\xi_i\}) = \sum_{i=1}^n f(\xi_i) \Delta x_i

定义 (ϵ−δ\epsilon-\delta 语言)： 称 ff 在 [a,b][a, b] 上 Riemann 可积，若存在常数 II，使得对于任意 ϵ>0\epsilon > 0，总存在 δ>0\delta > 0，使得对于 [a,b][a, b] 的任一划分 PP 及任一介点集 {ξi}\{\xi_i\}，只要 λ(P)<δ\lambda(P) < \delta，就有：

∣∑i=1nf(ξi)Δxi−I∣<ϵ| \sum_{i=1}^n f(\xi_i) \Delta x_i - I | < \epsilon

此时称 II 为 ff 在 [a,b][a, b] 上的定积分，记作 I=∫abf(x)dxI = \int_a^b f(x) dx。

必要条件：若 ff 在 [a,b][a, b] 上可积，则 ff 在 [a,b][a, b] 上必有界。 证明简述：若 ff 无界，则在包含无界点的小区间内，可通过选取不同的 ξi\xi_i 使 Riemann 和趋于无穷，从而极限不存在。

2. 达布和 (Darboux Sums) 与可积准则​

引入上、下达布和来摆脱介点 ξi\xi_i 的任意性。设 Mi=sup⁡x∈[xi−1,xi]f(x)M_i = \sup_{x \in [x_{i-1}, x_i]} f(x)，mi=inf⁡x∈[xi−1,xi]f(x)m_i = \inf_{x \in [x_{i-1}, x_i]} f(x)：

  • 上达布和：S‾(P)=∑i=1nMiΔxi\overline{S}(P) = \sum_{i=1}^n M_i \Delta x_i （所有 Riemann 和的上确界）
  • 下达布和：S‾(P)=∑i=1nmiΔxi\underline{S}(P) = \sum_{i=1}^n m_i \Delta x_i （所有 Riemann 和的下确界）

达布和的性质：

  1. 添加分点：若 P′⊃PP' \supset P（P′P' 是 PP 的加细），则 S‾(P)≤S‾(P′)\underline{S}(P) \le \underline{S}(P') 且 S‾(P′)≤S‾(P)\overline{S}(P') \le \overline{S}(P)。
  2. 基本不等式：对任意划分 P1,P2P_1, P_2，恒有 S‾(P1)≤S‾(P2)\underline{S}(P_1) \le \overline{S}(P_2)。
  3. 上、下积分：定义上积分 I‾=inf⁡PS‾(P)\overline{I} = \inf_P \overline{S}(P)，下积分 I‾=sup⁡PS‾(P)\underline{I} = \sup_P \underline{S}(P)。恒有 I‾≤I‾\underline{I} \le \overline{I}。

可积充要条件 (Riemann 准则)： ff 在 [a,b][a, b] 上可积   ⟺  I‾=I‾\iff \underline{I} = \overline{I}   ⟺  ∀ϵ>0,∃P\iff \forall \epsilon > 0, \exists P 使得 S‾(P)−S‾(P)<ϵ\overline{S}(P) - \underline{S}(P) < \epsilon。

二、 定积分的核心性质 (8+ 典型性质)​

1. 线性与区间可加性​

  • 线性：∫ab[αf(x)+βg(x)]dx=α∫abf(x)dx+β∫abg(x)dx\int_a^b [\alpha f(x) + \beta g(x)] dx = \alpha \int_a^b f(x) dx + \beta \int_a^b g(x) dx。
  • 区间可加性：∫abf(x)dx=∫acf(x)dx+∫cbf(x)dx\int_a^b f(x) dx = \int_a^c f(x) dx + \int_c^b f(x) dx。

2. 比较性质与绝对值不等式​

  • 保序性：若 f(x)≤g(x)f(x) \le g(x)，则 ∫abf(x)dx≤∫abg(x)dx\int_a^b f(x) dx \le \int_a^b g(x) dx。
  • 绝对值不等式：∣∫abf(x)dx∣≤∫ab∣f(x)∣dx|\int_a^b f(x) dx| \le \int_a^b |f(x)| dx。

3. 积分中值定理 (MVT)​

  • 第一中值定理：若 ff 连续，gg 不变号且可积，则 ∃ξ∈[a,b]\exists \xi \in [a, b] 满足 ∫abf(x)g(x)dx=f(ξ)∫abg(x)dx\int_a^b f(x)g(x)dx = f(\xi)\int_a^b g(x)dx。
  • 第二中值定理 (Bonnet 形式)：若 ff 单调，gg 可积，则 ∃ξ∈[a,b]\exists \xi \in [a, b] 使得 ∫abf(x)g(x)dx=f(a)∫aξg(x)dx+f(b)∫ξbg(x)dx\int_a^b f(x)g(x)dx = f(a)\int_a^\xi g(x)dx + f(b)\int_\xi^b g(x)dx。

4. 变上限积分的连续性与可导性​

设 f∈R[a,b]f \in R[a, b]，定义 Φ(x)=∫axf(t)dt\Phi(x) = \int_a^x f(t) dt。

  • 性质：Φ(x)\Phi(x) 在 [a,b][a, b] 上一致连续。
  • 性质：若 ff 在 x0x_0 处连续，则 Φ(x)\Phi(x) 在 x0x_0 处可导且 Φ′(x0)=f(x0)\Phi'(x_0) = f(x_0)。

5. 积分形式的 Schwarz 不等式​

若 f,gf, g 在 [a,b][a, b] 上可积，则：

(∫abf(x)g(x)dx)2≤(∫abf2(x)dx)(∫abg2(x)dx)\left( \int_a^b f(x)g(x) dx \right)^2 \le \left( \int_a^b f^2(x) dx \right) \left( \int_a^b g^2(x) dx \right)

6. 变量代换公式​

若 ϕ:[α,β]→[a,b]\phi: [\alpha, \beta] \to [a, b] 是 C1C^1 的且 ϕ(α)=a,ϕ(β)=b\phi(\alpha)=a, \phi(\beta)=b，则：

∫abf(x)dx=∫αβf(ϕ(t))ϕ′(t)dt\int_a^b f(x) dx = \int_\alpha^\beta f(\phi(t)) \phi'(t) dt

7. 分部积分公式​

若 u(x),v(x)u(x), v(x) 在 [a,b][a, b] 上有连续导数，则：

∫abudv=[uv]ab−∫abvdu\int_a^b u dv = [uv]_a^b - \int_a^b v du

8. 强保序性​

若 f,g∈R[a,b]f, g \in R[a, b]，f(x)≤g(x)f(x) \le g(x) 且在某点 x0x_0 处连续且 f(x0)<g(x0)f(x_0) < g(x_0)，则 ∫abf(x)dx<∫abg(x)dx\int_a^b f(x) dx < \int_a^b g(x) dx。

三、 微积分基本定理 (FTC) 与多维透视​

1. 牛顿-莱布尼茨公式​

若 f∈C[a,b]f \in C[a, b]，且 FF 是 ff 的任一原函数，则：

∫abf(x)dx=F(b)−F(a)\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)

这是连接“微分”（局部变化率）与“积分”（整体累积量）的桥梁。

2. 多维透视：广义 Stokes 公式​

在更高维的视角下，FTC 只是广义 Stokes 公式的 1 维特例：

∫Ωdω=∫∂Ωω\int_\Omega d\omega = \int_{\partial \Omega} \omega

  • 1 维 (FTC)：Ω=[a,b]\Omega = [a, b]，边界 ∂Ω={a,b}\partial \Omega = \{a, b\}，微分形式 ω=F\omega = F。
  • 2 维 (Green 公式)：将区域积分与其边界（曲线）积分联系起来。
  • 3 维 (Gauss/Stokes)：将体积分与面积分、面积分与线积分联系起来。 这种“边界上的信息决定内部整体”的哲学是整个现代分析的基础。

四、 深度例题解析 (补充至 8+ 典型)​

例题 1：变限积分求导与极限​

计算 lim⁡x→01x4∫0xsin⁡(t3)dt\lim_{x \to 0} \frac{1}{x^4} \int_0^x \sin(t^3) dt。

解析

利用 L'Hôpital 法则结合 FTC： lim⁡x→0ddx∫0xsin⁡(t3)dt4x3=lim⁡x→0sin⁡(x3)4x3\lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{dx} \int_0^x \sin(t^3) dt}{4x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x^3)}{4x^3}。 利用等价无穷小 sin⁡u∼u\sin u \sim u (u→0u \to 0)： lim⁡x→0x34x3=14\lim_{x \to 0} \frac{x^3}{4x^3} = \frac{1}{4}。

例题 2：定积分定义求数列极限​

求 lim⁡n→∞∑k=1nnn2+k2\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \frac{n}{n^2 + k^2}。

解析

化为黎曼和形式：∑k=1n1n⋅11+(k/n)2\sum_{k=1}^n \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{1 + (k/n)^2}。 识别为 f(x)=11+x2f(x) = \frac{1}{1+x^2} 在 [0,1][0, 1] 上的定积分： I=∫0111+x2dx=[arctan⁡x]01=π4I = \int_0^1 \frac{1}{1+x^2} dx = [\arctan x]_0^1 = \frac{\pi}{4}。

例题 3：利用对称性（区间转换）​

计算 I=∫0π/2sin⁡xsin⁡x+cos⁡xdxI = \int_0^{\pi/2} \frac{\sin x}{\sin x + \cos x} dx。

解析

令 u=π/2−xu = \pi/2 - x，则 dx=−dudx = -du，且 sin⁡x=cos⁡u,cos⁡x=sin⁡u\sin x = \cos u, \cos x = \sin u。 I=∫π/20cos⁡ucos⁡u+sin⁡u(−du)=∫0π/2cos⁡xsin⁡x+cos⁡xdxI = \int_{\pi/2}^0 \frac{\cos u}{\cos u + \sin u} (-du) = \int_0^{\pi/2} \frac{\cos x}{\sin x + \cos x} dx。 2I=∫0π/2sin⁡x+cos⁡xsin⁡x+cos⁡xdx=∫0π/21dx=π22I = \int_0^{\pi/2} \frac{\sin x + \cos x}{\sin x + \cos x} dx = \int_0^{\pi/2} 1 dx = \frac{\pi}{2}。 故 I=π/4I = \pi/4。

例题 4：定积分不等式证明​

证明：对于 f∈C[0,1]f \in C[0, 1]，若 f(x)>0f(x) > 0，则 ∫01f(x)dx⋅∫011f(x)dx≥1\int_0^1 f(x) dx \cdot \int_0^1 \frac{1}{f(x)} dx \ge 1。

解析

应用 积分形式的 Schwarz 不等式： 令 g(x)=f(x)g(x) = \sqrt{f(x)}，h(x)=1f(x)h(x) = \frac{1}{\sqrt{f(x)}}。 则 (∫01g(x)h(x)dx)2≤∫01g2(x)dx⋅∫01h2(x)dx(\int_0^1 g(x)h(x) dx)^2 \le \int_0^1 g^2(x) dx \cdot \int_0^1 h^2(x) dx。 左边：(∫011dx)2=12=1(\int_0^1 1 dx)^2 = 1^2 = 1。 右边：∫01f(x)dx⋅∫011f(x)dx\int_0^1 f(x) dx \cdot \int_0^1 \frac{1}{f(x)} dx。 故结论成立。

例题 5：周期函数的积分​

设 f(x)f(x) 是以 TT 为周期的连续函数，证明 ∫aa+Tf(x)dx=∫0Tf(x)dx\int_a^{a+T} f(x) dx = \int_0^{T} f(x) dx。

解析

∫aa+Tf(x)dx=∫a0f(x)dx+∫0Tf(x)dx+∫Ta+Tf(x)dx\int_a^{a+T} f(x) dx = \int_a^0 f(x) dx + \int_0^T f(x) dx + \int_T^{a+T} f(x) dx。 对第三项令 x=u+Tx = u + T，则 dx=dudx = du。 ∫Ta+Tf(x)dx=∫0af(u+T)du\int_T^{a+T} f(x) dx = \int_0^a f(u+T) du。 由于周期性 f(u+T)=f(u)f(u+T) = f(u)，故该项为 ∫0af(u)du=−∫a0f(x)dx\int_0^a f(u) du = -\int_a^0 f(x) dx。 首尾两项抵消，得证。

例题 6：Wallis 公式与点火公式的深度应用​

计算 I=∫0πxsin⁡6xdxI = \int_0^\pi x \sin^6 x dx。

解析
  1. 利用对称性消去 x： 利用性质 ∫0af(x)dx=∫0af(a−x)dx\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx， I=∫0π(π−x)sin⁡6(π−x)dx=π∫0πsin⁡6xdx−II = \int_0^\pi (\pi-x) \sin^6(\pi-x) dx = \pi \int_0^\pi \sin^6 x dx - I。 2I=π∫0πsin⁡6xdx=2π∫0π/2sin⁡6xdx2I = \pi \int_0^\pi \sin^6 x dx = 2\pi \int_0^{\pi/2} \sin^6 x dx。 I=π∫0π/2sin⁡6xdxI = \pi \int_0^{\pi/2} \sin^6 x dx。
  2. 套用 Wallis 公式 (点火公式)： I=π⋅56⋅34⋅12⋅π2=5π232I = \pi \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{5\pi^2}{32}。

例题 7：Euler 积分 ∫0π/2ln⁡(sin⁡x)dx\int_0^{\pi/2} \ln(\sin x) dx​

计算 I=∫0π/2ln⁡(sin⁡x)dxI = \int_0^{\pi/2} \ln(\sin x) dx。

解析
  1. 对称性：I=∫0π/2ln⁡(cos⁡x)dxI = \int_0^{\pi/2} \ln(\cos x) dx。
  2. 合并：2I=∫0π/2ln⁡(sin⁡xcos⁡x)dx=∫0π/2ln⁡(sin⁡2x2)dx2I = \int_0^{\pi/2} \ln(\sin x \cos x) dx = \int_0^{\pi/2} \ln(\frac{\sin 2x}{2}) dx。 2I=∫0π/2ln⁡(sin⁡2x)dx−∫0π/2ln⁡2dx=∫0π/2ln⁡(sin⁡2x)dx−π2ln⁡22I = \int_0^{\pi/2} \ln(\sin 2x) dx - \int_0^{\pi/2} \ln 2 dx = \int_0^{\pi/2} \ln(\sin 2x) dx - \frac{\pi}{2} \ln 2。
  3. 换元：令 2x=u2x = u，则 ∫0π/2ln⁡(sin⁡2x)dx=12∫0πln⁡(sin⁡u)du=∫0π/2ln⁡(sin⁡u)du=I\int_0^{\pi/2} \ln(\sin 2x) dx = \frac{1}{2} \int_0^{\pi} \ln(\sin u) du = \int_0^{\pi/2} \ln(\sin u) du = I。
  4. 解方程：2I=I−π2ln⁡2  ⟹  I=−π2ln⁡22I = I - \frac{\pi}{2} \ln 2 \implies I = -\frac{\pi}{2} \ln 2。

例题 8：区间平移与对称性的妙用​

计算 I=∫0πxsin⁡x1+cos⁡2xdxI = \int_0^{\pi} \frac{x \sin x}{1 + \cos^2 x} dx。

解析
  1. 消去 x：令 x=π−tx = \pi - t，则 I=∫0π(π−t)sin⁡t1+cos⁡2tdt=π∫0πsin⁡t1+cos⁡2tdt−II = \int_0^\pi \frac{(\pi-t)\sin t}{1+\cos^2 t} dt = \pi \int_0^\pi \frac{\sin t}{1+\cos^2 t} dt - I。 2I=π∫0πsin⁡t1+cos⁡2tdt2I = \pi \int_0^\pi \frac{\sin t}{1+\cos^2 t} dt。
  2. 凑微分积分：令 u=cos⁡t,du=−sin⁡tdtu = \cos t, du = -\sin t dt。 2I=π∫1−1−du1+u2=π∫−11du1+u2=π[arctan⁡u]−11=π(π4−(−π4))=π222I = \pi \int_1^{-1} \frac{-du}{1+u^2} = \pi \int_{-1}^1 \frac{du}{1+u^2} = \pi [\arctan u]_{-1}^1 = \pi (\frac{\pi}{4} - (-\frac{\pi}{4})) = \frac{\pi^2}{2}。 I=π2/4I = \pi^2/4。

例题 9：分段函数的定积分​

计算 ∫02f(x)dx\int_0^2 f(x) dx，其中 f(x)=min⁡{x,x2}f(x) = \min\{x, x^2\}。

解析
  1. 比较大小： 在 [0,1][0, 1] 上，x2≤xx^2 \le x，故 f(x)=x2f(x) = x^2。 在 [1,2][1, 2] 上，x≤x2x \le x^2，故 f(x)=xf(x) = x。
  2. 分段积分： I=∫01x2dx+∫12xdx=[13x3]01+[12x2]12=13+(2−12)=13+32=116I = \int_0^1 x^2 dx + \int_1^2 x dx = [\frac{1}{3}x^3]_0^1 + [\frac{1}{2}x^2]_1^2 = \frac{1}{3} + (2 - \frac{1}{2}) = \frac{1}{3} + \frac{3}{2} = \frac{11}{6}。

例题 10：利用导数定义的积分构造​

计算 I=∫0π/2sin⁡nxsin⁡nx+cos⁡nxdxI = \int_0^{\pi/2} \frac{\sin^n x}{\sin^n x + \cos^n x} dx。

解析

利用余元公式 x→π/2−xx \to \pi/2-x： I=∫0π/2cos⁡nxcos⁡nx+sin⁡nxdxI = \int_0^{\pi/2} \frac{\cos^n x}{\cos^n x + \sin^n x} dx。 2I=∫0π/2sin⁡nx+cos⁡nxsin⁡nx+cos⁡nxdx=π/2  ⟹  I=π/42I = \int_0^{\pi/2} \frac{\sin^n x + \cos^n x}{\sin^n x + \cos^n x} dx = \pi/2 \implies I = \pi/4。 注意：结果与 nn 无关。

例题 11：黎曼引理 (Riemann-Lebesgue Lemma) 的初步应用​

证明 lim⁡n→∞∫abf(x)sin⁡(nx)dx=0\lim_{n \to \infty} \int_a^b f(x) \sin(nx) dx = 0 (ff 在 [a,b][a, b] 上可积)。

解析（概要）
  1. 阶梯函数逼近：先对常数函数证明，再推广到阶梯函数。
  2. 逼近定理：利用连续函数或可积函数可用阶梯函数一致逼近的性质。 这是傅里叶级数收敛性的理论基础。

例题 12：含参变量积分的简单应用（Lebesgue 控制收敛预览）​

计算 lim⁡n→∞∫01nxn−11+xdx\lim_{n \to \infty} \int_0^1 \frac{nx^{n-1}}{1+x} dx。

解析
  1. 分部积分： ∫0111+xd(xn)=[xn1+x]01+∫01xn(1+x)2dx=12+∫01xn(1+x)2dx\int_0^1 \frac{1}{1+x} d(x^n) = [\frac{x^n}{1+x}]_0^1 + \int_0^1 \frac{x^n}{(1+x)^2} dx = \frac{1}{2} + \int_0^1 \frac{x^n}{(1+x)^2} dx。
  2. 夹逼准则： 0<∫01xn(1+x)2dx<∫01xndx=1n+1→00 < \int_0^1 \frac{x^n}{(1+x)^2} dx < \int_0^1 x^n dx = \frac{1}{n+1} \to 0。
  3. 结论：极限为 1/21/2。

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编者注：定积分是寻找黎曼和极限的过程。掌握了微积分基本定理，你就掌握了连接导数与积分的桥梁。