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第二章：数列极限

本章围绕 ϵ\epsilon-NN 定义、收敛判别与经典计算模板展开，重点训练“定义证明 + 判别工具 + 计算技巧”三条主线。

一、定义与基本性质​

1. ϵ\epsilon-NN 定义​

若对任意 ϵ>0\epsilon>0，存在 N∈N+N\in\mathbb{N}_+，使得当 n>Nn>N 时恒有

∣an−A∣<ϵ,|a_n-A|<\epsilon,

则称 lim⁡n→∞an=A\lim_{n\to\infty}a_n=A。

学习要点

定义中的量词顺序必须严格：先“任意 ϵ\epsilon”，再“存在 NN”。证明题中交换顺序通常会导致错误结论。

2. 基本定理​

  • 收敛极限唯一。
  • 收敛数列必有界。
  • 四则运算与夹逼定理成立。
  • 收敛数列任意子列收敛到同一极限。

3. 三个核心判别工具​

  • 单调有界定理：单调且有界 ⇒\Rightarrow 收敛。
  • 柯西收敛准则：在实数域中，柯西列充要等价于收敛。
  • Stolz 定理：处理离散型 ∞∞\frac{\infty}{\infty} 与平均值极限的关键工具。

二、教材化例题（4 题）​

例题 1：定义法证明极限​

证明 lim⁡n→∞3n−12n+5=32\lim_{n\to\infty}\frac{3n-1}{2n+5}=\frac32。

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有

∣3n−12n+5−32∣=174n+10<174n.\left|\frac{3n-1}{2n+5}-\frac32\right|=\frac{17}{4n+10}<\frac{17}{4n}.

给定 ϵ>0\epsilon>0，取

N>174ϵ,N>\frac{17}{4\epsilon},

当 n>Nn>N 时即有误差小于 ϵ\epsilon。

故极限为 32\frac32。

例题 2：单调有界定理求递推极限​

设 x1=1, xn+1=12(xn+2xn)x_1=1,\ x_{n+1}=\frac12\left(x_n+\frac{2}{x_n}\right)，求极限。

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先证下界：由 AM-GM，

xn+1=12(xn+2xn)≥2.x_{n+1}=\frac12\left(x_n+\frac{2}{x_n}\right)\ge\sqrt2.

再证单调：当 xn≥2x_n\ge\sqrt2 时

xn+1−xn=2−xn22xn≤0,x_{n+1}-x_n=\frac{2-x_n^2}{2x_n}\le0,

故从第二项起单调递减且下有界，故收敛。

设极限为 L>0L>0，代入递推式：

L=12(L+2L)⇒L2=2⇒L=2.L=\frac12\left(L+\frac2L\right)\Rightarrow L^2=2\Rightarrow L=\sqrt2.

例题 3：Stolz 定理计算和式极限​

求

lim⁡n→∞12+22+⋯+n2n3.\lim_{n\to\infty}\frac{1^2+2^2+\cdots+n^2}{n^3}.

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令

Xn=∑k=1nk2,Yn=n3.X_n=\sum_{k=1}^n k^2,\quad Y_n=n^3.

由 Stolz：

lim⁡XnYn=lim⁡Xn−Xn−1Yn−Yn−1=lim⁡n2n3−(n−1)3=lim⁡n23n2−3n+1=13.\lim\frac{X_n}{Y_n}=\lim\frac{X_n-X_{n-1}}{Y_n-Y_{n-1}}=\lim\frac{n^2}{n^3-(n-1)^3} =\lim\frac{n^2}{3n^2-3n+1}=\frac13.

例题 4：柯西准则判定发散​

证明调和级数部分和 Hn=∑k=1n1kH_n=\sum_{k=1}^n\frac1k 不收敛。

点击查看解析与答案

取 m=2nm=2n，则

H2n−Hn=1n+1+⋯+12n>n⋅12n=12.H_{2n}-H_n=\frac1{n+1}+\cdots+\frac1{2n}>n\cdot\frac1{2n}=\frac12.

故存在固定正数 ϵ0=12\epsilon_0=\frac12，使任意大下标仍可找到两项差值超过 ϵ0\epsilon_0，违背柯西准则。

因此 HnH_n 发散。

三、 系统化极限定义证明 (Systematic Definition Proofs)​

在分析学中，证明 lim⁡n→∞an=A\lim_{n\to\infty} a_n = A 的核心在于寻找 N(ϵ)N(\epsilon) 的显式构造。

1. ϵ\epsilon-NN 证明的标准范式 (The Standard Paradigm)​

  1. 分析阶段 (Scratch Work)：考察不等式 ∣an−A∣<ϵ|a_n - A| < \epsilon。
  2. 放大技术 (Bounding)：通过适当放大，使得左侧变为一个关于 nn 的简单函数（如 C/nC/n）。
  3. 确定 NN：由简单函数 <ϵ< \epsilon 解出 n>g(ϵ)n > g(\epsilon)。
  4. 书写阶段 (Formal Proof)：从“任意 ϵ>0\epsilon > 0”开始，取 N=max⁡(… )N = \max(\dots)，写出完整推导过程。

2. 常用放大策略 (Bounding Strategies)​

场景策略示例
多项式分式放大分子，缩小分母n2+1n3−2≤2n2n3/2=4n\frac{n^2+1}{n^3-2} \le \frac{2n^2}{n^3/2} = \frac{4}{n} (当 nn 足够大)
根式差分子有理化n+1−n=1n+1+n<12n\sqrt{n+1}-\sqrt{n} = \frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} < \frac{1}{2\sqrt{n}}
指数/阶乘利用 Bernoulli 不等式或归纳$q^n \to 0 (

3. 高阶证明例题​

例题 5：证明乘积极限的严密性
已知 lim⁡an=A,lim⁡bn=B\lim a_n = A, \lim b_n = B，证明 lim⁡(anbn)=AB\lim (a_n b_n) = AB。

点击查看严密证明过程

分析：我们需要控制 ∣anbn−AB∣=∣anbn−Abn+Abn−AB∣≤∣bn∣∣an−A∣+∣A∣∣bn−B∣|a_n b_n - AB| = |a_n b_n - A b_n + A b_n - AB| \le |b_n||a_n - A| + |A||b_n - B|。

证明：

  1. 因为 {bn}\{b_n\} 收敛，故其有界，即存在 M>0M > 0 使得 ∣bn∣≤M|b_n| \le M。
  2. 对任意 ϵ>0\epsilon > 0：
    • 存在 N1N_1，当 n>N1n > N_1 时，∣an−A∣<ϵ2M|a_n - A| < \frac{\epsilon}{2M}。
    • 存在 N2N_2，当 n>N2n > N_2 时，∣bn−B∣<ϵ2(∣A∣+1)|b_n - B| < \frac{\epsilon}{2(|A|+1)} (加 1 防止 A=0A=0)。
  3. 取 N=max⁡(N1,N2)N = \max(N_1, N_2)，则当 n>Nn > N 时： ∣anbn−AB∣≤M⋅ϵ2M+∣A∣⋅ϵ2(∣A∣+1)<ϵ2+ϵ2=ϵ.|a_n b_n - AB| \le M \cdot \frac{\epsilon}{2M} + |A| \cdot \frac{\epsilon}{2(|A|+1)} < \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon. 证毕。

四、 计算验证：C++ 数值观测 ​

在分析学中，数值模拟能帮助我们直观感受收敛的速度。

示例：验证数列 an=(1+1/n)n→ea_n = (1 + 1/n)^n \to e​

我们通过 C++ 观察该数列在 nn 增大时的收敛情况及其与真值 ee 的误差。

Details
点击查看 C++ 验证代码
#include <iostream>
#include <cmath>
#include <iomanip>

/**
 * @brief 观测 e 的定义式收敛过程
 */
int main() {
    const double e_true = std::exp(1.0);
    std::cout << std::fixed << std::setprecision(12);
    std::cout << "Target e: " << e_true << "\n\n";
    std::cout << "n\t\tValue\t\t\tError" << std::endl;
    std::cout << "---------------------------------------------" << std::endl;

    for (long long n = 1; n <= 100000000000LL; n *= 10) {
        double val = std::pow(1.0 + 1.0/n, (double)n);
        double error = std::abs(val - e_true);
        std::cout << "10^" << (int)std::log10(n) << "\t\t" << val << "\t" << error << std::endl;
    }

    std::cout << "\n注：由于双精度浮点数精度限制，当 n 过大时，误差反而可能由于舍入误差而增大。" << std::endl;
    return 0;
}

五、 跨领域映射 ​

领域对应概念说明
算法分析渐近时间复杂度 O(f(n))O(f(n))本质上是研究函数在大 nn 下的阶数极限。
信号处理采样定理与极限连续信号向离散采样的逼近过程。
物理学热力学极限研究粒子数 N→∞N \to \infty 时宏观量的统计行为。

六、 章内练习（折叠答案）​

练习 1：定义法​

用 ϵ\epsilon-NN 定义证明 lim⁡n→∞n+1n=1\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n+1}{n}=1。

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∣n+1n−1∣=1n.\left|\frac{n+1}{n}-1\right|=\frac1n.

给定 ϵ>0\epsilon>0，取 N>1/ϵN>1/\epsilon 即可。

练习 2：夹逼定理​

求极限

lim⁡n→∞sin⁡nn.\lim_{n\to\infty}\frac{\sin n}{n}.

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由 −1≤sin⁡n≤1-1\le\sin n\le1，得

−1n≤sin⁡nn≤1n.-\frac1n\le\frac{\sin n}{n}\le\frac1n.

两端趋于 0，故极限为 0。

练习 3：Stolz 平均值​

设 an→aa_n\to a，证明

a1+⋯+ann→a.\frac{a_1+\cdots+a_n}{n}\to a.

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设 Xn=∑k=1nak, Yn=nX_n=\sum_{k=1}^n a_k,\ Y_n=n，用 Stolz：

lim⁡XnYn=lim⁡Xn−Xn−1Yn−Yn−1=lim⁡an=a.\lim\frac{X_n}{Y_n}=\lim\frac{X_n-X_{n-1}}{Y_n-Y_{n-1}}=\lim a_n=a.

练习 4：递推极限​

设 u1>0u_1>0，un+1=un+3un+1u_{n+1}=\frac{u_n+3}{u_n+1}。证明其收敛并求极限。

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极限候选由不动点方程

L=L+3L+1⇒L2=3⇒L=3 (>0).L=\frac{L+3}{L+1}\Rightarrow L^2=3\Rightarrow L=\sqrt3\ (>0).

考察映射 φ(x)=x+3x+1\varphi(x)=\frac{x+3}{x+1} 在 (0,+∞)(0,+\infty) 上，

φ′(x)=−2(x+1)2<0,\varphi'(x)=\frac{-2}{(x+1)^2}<0,

并可验证迭代保持正且逐步逼近不动点，故收敛到 3\sqrt3。

练习库同步 (Analysis Exercise Sync)

七、 练习库入口​

编者注：数列极限训练要形成“先判别后计算”的习惯，避免直接硬算导致方向错误。