反常积分：敛散性判别与 Cauchy 主值

在定积分的定义中，我们要求积分区间是有界的，且被积函数也是有界的。当这两个条件之一不满足时，便产生了反常积分（也称广义积分）。

一、基本定义与柯西准则

1. 柯西收敛准则 (Cauchy Criterion)

核心准则

反常积分 $\int_a^{+\infty} f(x) dx$ 收敛的充要条件是：对任意 $\epsilon > 0$ ，存在 $A > a$ ，使得对于任意 $A_1, A_2 > A$ ，恒有： $\left| \int_{A_1}^{A_2} f(x) dx \right| < \epsilon$

2. 无穷限与瑕积分

无穷限： $\int_a^{+\infty} f(x) dx = \lim_{A \to +\infty} \int_a^A f(x) dx$ 。
瑕积分：若 $a$ 为瑕点， $\int_a^b f(x) dx = \lim_{\epsilon \to 0^+} \int_{a+\epsilon}^b f(x) dx$ 。

二、敛散性判别法

1. 非负函数的比较法

若 $0 \le f(x) \le g(x)$ ，则 $\int g$ 收敛 $\implies \int f$ 收敛。

2. 变号函数的判别法

Dirichlet 判别法

$\int_a^A f(x)dx$ 有界；
2. $g(x)$ 单调且 $g(x) \to 0$ 。

Abel 判别法

$\int_a^{+\infty} f(x)dx$ 收敛；
2. $g(x)$ 单调有界。

三、 Cauchy 主值 (Principal Value)

对于发散积分，若对称逼近的极限存在，称为主值 $P.V.$ 。例如： $P.V. \int_{-A}^A x dx = 0$ ，尽管 $\int_{-\infty}^{+\infty} x dx$ 发散。

四、章内专题练习 (In-Chapter Exercises)

练习 1：Dirichlet 判别法的应用

判定 $\int_0^{+\infty} \frac{\sin x}{x^p}$ ( $p > 0$ ) 的收敛性。

解析：

$x \to 0$ 时，若 $p < 2$ ，由 $\sin x \sim x$ 知是正常积分（或收敛瑕积分）。
$x \to +\infty$ $x \to + \infty$ 时，令 $f(x) = \sin x, g(x) = 1/x^p$ $f (x) = sin x, g (x) = 1/ x^{p}$ 。
- $\int \sin x$ 有界。
- $1/x^p$ 单调趋于 0。故由 Dirichlet 判别法知积分收敛。

练习 2：瑕积分的判定

讨论 $\int_0^1 \frac{dx}{x^p \ln(1+x)}$ 的收敛性。

答案解析：当 $x \to 0$ 时， $\ln(1+x) \sim x$ 。故被积函数 $\sim \frac{1}{x^{p+1}}$ 。由 $p$ -积分判别法，当 $p+1 < 1$ 即 $p < 0$ 时收敛。

练习 3：Cauchy 主值计算

计算 $P.V. \int_{1/2}^2 \frac{dx}{x \ln x}$ 。

答案解析 瑕点在 $x=1$ 。 $P.V. = \lim_{\epsilon \to 0} (\int_{1/2}^{1-\epsilon} + \int_{1+\epsilon}^2) \frac{d(\ln x)}{\ln x}$ $= \lim (\ln|\ln(1-\epsilon)| - \ln|\ln(1/2)| + \ln|\ln 2| - \ln|\ln(1+\epsilon)|)$ 由于 $\ln(1 \pm \epsilon) \sim \pm \epsilon$ ，两项对数项抵消。结果为 $\ln|\ln 2| - \ln|\ln(1/2)| = 0$ （由于 $\ln(1/2) = -\ln 2$ ）。