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数学分析前四章专题练习（实数、数列、函数极限、连续）

本页对标《数学分析》前四章，按“基础-提高-挑战”配置多题训练。每题均支持点击展开过程与答案。

练习 1：[基础] 上下确界​

设 A={1−1n:n∈N+}A=\{1-\frac1n:n\in\mathbb{N}_+\}，求 sup⁡A,inf⁡A\sup A,\inf A。

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由 1−1n<11-\frac1n<1 且可任意逼近 1，得 sup⁡A=1\sup A=1；当 n=1n=1 时取到 0，故 inf⁡A=0\inf A=0。

练习 2：[基础] 阿基米德性质应用​

证明：对任意 x>0x>0，存在 n∈Nn\in\mathbb{N} 使 1n<x\frac1n<x。

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由阿基米德性质，存在 n>1/xn>1/x，两边取倒数得 1/n<x1/n<x。

练习 3：[基础] 数列极限定义法​

证明 lim⁡n→∞2n−3n+4=2\lim_{n\to\infty}\frac{2n-3}{n+4}=2。

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∣2n−3n+4−2∣=11n+4<11n.\left|\frac{2n-3}{n+4}-2\right|=\frac{11}{n+4}<\frac{11}{n}.

给定 ϵ>0\epsilon>0，取 N>11/ϵN>11/\epsilon，则当 n>Nn>N 时误差小于 ϵ\epsilon。

练习 4：[基础] 函数极限​

求

lim⁡x→01+2x−1x.\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{1+2x}-1}{x}.

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有理化：

1+2x−1x=21+2x+1→1.\frac{\sqrt{1+2x}-1}{x}=\frac{2}{\sqrt{1+2x}+1}\to1.

练习 5：[提高] Stolz 定理​

求

lim⁡n→∞1+3+⋯+(2n−1)n2.\lim_{n\to\infty}\frac{1+3+\cdots+(2n-1)}{n^2}.

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令 Xn=∑k=1n(2k−1),Yn=n2X_n=\sum_{k=1}^n(2k-1),Y_n=n^2，则

lim⁡XnYn=lim⁡2n−1n2−(n−1)2=lim⁡2n−12n−1=1.\lim\frac{X_n}{Y_n}=\lim\frac{2n-1}{n^2-(n-1)^2}=\lim\frac{2n-1}{2n-1}=1.

练习 6：[提高] 连续性判定​

讨论函数

f(x)={sin⁡xx,x≠0,1,x=0f(x)=\begin{cases} \frac{\sin x}{x},&x\ne0,\\ 1,&x=0 \end{cases}

在 x=0x=0 处是否连续。

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因 lim⁡x→0sin⁡xx=1=f(0)\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1=f(0)，故在 0 处连续。

练习 7：[提高] 复合函数定义域​

求函数

g(x)=ln⁡(1−x−1)g(x)=\ln\big(1-\sqrt{x-1}\big)

的定义域。

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需满足 x−1≥0x-1\ge0 且 1−x−1>01-\sqrt{x-1}>0。 后者等价于 x−1<1⇒x<2\sqrt{x-1}<1\Rightarrow x<2。 故定义域 [1,2)[1,2)。

练习 8：[挑战] 夹逼与路径思想​

证明：

lim⁡x→0xsin⁡1x=0.\lim_{x\to0}x\sin\frac1x=0.

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由 ∣sin⁡(1/x)∣≤1|\sin(1/x)|\le1，得

−∣x∣≤xsin⁡1x≤∣x∣.-|x|\le x\sin\frac1x\le |x|.

两端在 x→0x\to0 时趋于 0，故中间极限为 0。

练习 9：[挑战] 一致连续性辨析​

判断 f(x)=x2f(x)=x^2 在 (0,+∞)(0,+\infty) 上是否一致连续，并说明理由。

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取 xn=n,yn=n+1nx_n=n,y_n=n+\frac1n，则

∣xn−yn∣=1n→0,|x_n-y_n|=\frac1n\to0,

但

∣f(xn)−f(yn)∣=∣n2−(n+1n)2∣=∣−2−1n2∣→2≠0.|f(x_n)-f(y_n)|=\left|n^2-\left(n+\frac1n\right)^2\right|=\left| -2-\frac1{n^2}\right|\to2\ne0.

故不一致连续。

练习 10：[挑战] 零点存在性​

证明方程 x5+x−1=0x^5+x-1=0 在 (0,1)(0,1) 内至少有一根。

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设 h(x)=x5+x−1h(x)=x^5+x-1，多项式在 [0,1][0,1] 上连续。

h(0)=−1<0, h(1)=1>0h(0)=-1<0,\ h(1)=1>0，由介值定理存在 ξ∈(0,1)\xi\in(0,1) 使 h(ξ)=0h(\xi)=0。

练习 11：[挑战] 戴德金分割的判定​

设 A={q∈Q∣q≤0 或 q2<2},B={q∈Q∣q>0 且 q2>2}A = \{q \in \mathbb{Q} \mid q \le 0 \text{ 或 } q^2 < 2\}, B = \{q \in \mathbb{Q} \mid q > 0 \text{ 且 } q^2 > 2\}。证明 (A,B)(A, B) 是 Q\mathbb{Q} 的一个分割，但其间没有有理数。

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解析：

  1. 非空性：0∈A,2∈B0 \in A, 2 \in B，均非空。
  2. 并集与不相交：显然 A∪B=QA \cup B = \mathbb{Q} 且 A∩B=∅A \cap B = \emptyset（因为不存在有理数 qq 使 q2=2q^2 = 2）。
  3. 有序性：若 a∈A,b∈Ba \in A, b \in B，则 a<ba < b 显然。
  4. 无边界有理数：若存在 ξ∈Q\xi \in \mathbb{Q} 是边界，则 ξ2=2\xi^2 = 2，这与 2\sqrt{2} 是无理数矛盾。 结论：这证明了有理数集 Q\mathbb{Q} 不具有连续性（完备性）。

练习 12：[提高] 聚点定理的应用​

证明：任何有界序列 {an}\{a_n\} 必存在收敛子列。

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解析： 这是 Bolzano-Weierstrass 定理。

  1. 数列有界，故其值域 S={an}S = \{a_n\} 有界。
  2. 若 SS 为有限集，则必有某个值重复出现无穷多次，取其对应的子序列即收敛。
  3. 若 SS 为无限集，由聚点定理，SS 至少有一个聚点 ξ\xi。
  4. 在 ξ\xi 的邻域 (ξ−1/k,ξ+1/k)(\xi-1/k, \xi+1/k) 内取项 anka_{n_k}，可构造出收敛于 ξ\xi 的子列。

练习 13：[挑战] 有限覆盖定理的应用​

证明：闭区间上的连续函数必一致连续。

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解析：

  1. 设 ff 在 [a,b][a, b] 上连续。对任意 ϵ>0\epsilon > 0 和 x∈[a,b]x \in [a, b]，存在 δx\delta_x 使得当 ∣y−x∣<δx|y-x| < \delta_x 时 ∣f(y)−f(x)∣<ϵ/2|f(y)-f(x)| < \epsilon/2。
  2. 考虑开覆盖 H={(x−δx/2,x+δx/2)∣x∈[a,b]}H = \{ (x-\delta_x/2, x+\delta_x/2) \mid x \in [a, b] \}。
  3. 由有限覆盖定理，存在有限个点 x1,…,xkx_1, \dots, x_k 使得 [a,b]⊂⋃i=1k(xi−δi/2,xi+δi/2)[a, b] \subset \bigcup_{i=1}^k (x_i-\delta_i/2, x_i+\delta_i/2)。
  4. 取 δ=min⁡{δi/2}\delta = \min\{\delta_i/2\}。若 ∣x−y∣<δ|x-y| < \delta，则 xx 属于某个 (xi−δi/2,xi+δi/2)(x_i-\delta_i/2, x_i+\delta_i/2)。
  5. 通过三角不等式 ∣f(x)−f(y)∣≤∣f(x)−f(xi)∣+∣f(xi)−f(y)∣<ϵ/2+ϵ/2=ϵ|f(x)-f(y)| \le |f(x)-f(x_i)| + |f(x_i)-f(y)| < \epsilon/2 + \epsilon/2 = \epsilon。 结论：一致连续。

数值模拟与验证练习 ​

练习 14：[数值] 验证 Wallis 乘积公式​

已知 Wallis 公式： lim⁡n→∞∏k=1n4k24k2−1=π2\lim_{n \to \infty} \prod_{k=1}^n \frac{4k^2}{4k^2-1} = \frac{\pi}{2} 编写 C++ 程序验证该公式的收敛过程并计算相对误差。

点击查看 C++ 参考实现与解析

解析：该公式提供了一种通过有理数序列逼近 π\pi 的方法。在程序中，我们通过迭代计算前 nn 项的乘积。

#include <iostream>
#include <iomanip>
#include <cmath>

int main() {
    const double PI_HALF = M_PI / 2.0;
    double product = 1.0;
    
    std::cout << std::fixed << std::setprecision(10);
    std::cout << "Target PI/2: " << PI_HALF << "\n\n";
    std::cout << "n\t\tApproximation\t\tError" << std::endl;
    
    for (int n = 1; n <= 1000000; ++n) {
        double term = (4.0 * n * n) / (4.0 * n * n - 1.0);
        product *= term;
        
        if (n == 10 || n == 100 || n == 1000 || n == 10000 || n == 100000 || n == 1000000) {
            std::cout << n << "\t\t" << product << "\t\t" << std::abs(product - PI_HALF) << std::endl;
        }
    }
    return 0;
}

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