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导数与中值定理专题练习

覆盖章节：第五章《导数与微分》+ 第六章《微分中值定理及其应用》。

建议先做完再展开答案。

一、基础题​

练习 1：定义求导​

求 f(x)=x3f(x)=x^3 在 x=1x=1 处的导数。

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f′(1)=lim⁡h→0(1+h)3−1h=lim⁡h→0(3+3h+h2)=3. f'(1)=\lim_{h\to0}\frac{(1+h)^3-1}{h}=\lim_{h\to0}(3+3h+h^2)=3.

练习 2：可导与连续​

函数

f(x)={∣x∣,x∈R f(x)=\begin{cases} |x|, & x\in\mathbb R \end{cases}

在 x=0x=0 是否可导？是否连续？

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左导数为 −1-1，右导数为 11，不相等，因此不可导。

但 ∣x∣|x| 在 00 处连续。

练习 3：乘积求导​

求 y=x2sin⁡xy=x^2\sin x 的导数。

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y′=(x2)′sin⁡x+x2(sin⁡x)′=2xsin⁡x+x2cos⁡x. y'=(x^2)'\sin x+x^2(\sin x)'=2x\sin x+x^2\cos x.

练习 4：拉格朗日中值定理​

证明：对任意 a,b>0a,b>0，有

∣ln⁡a−ln⁡b∣≤∣a−b∣min⁡(a,b). |\ln a-\ln b|\le \frac{|a-b|}{\min(a,b)}.
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设 a>ba>b。对 ln⁡x\ln x 在 [b,a][b,a] 用中值定理：

ln⁡a−ln⁡b=a−bξ,ξ∈(b,a). \ln a-\ln b=\frac{a-b}{\xi},\quad \xi\in(b,a).

因 ξ≥b=min⁡(a,b)\xi\ge b=\min(a,b)，故

∣ln⁡a−ln⁡b∣≤∣a−b∣min⁡(a,b). |\ln a-\ln b|\le \frac{|a-b|}{\min(a,b)}.

a<ba<b 同理。

二、提高题​

练习 5：L'Hopital 应用​

求

lim⁡x→0ex−1−xx2. \lim_{x\to0}\frac{e^x-1-x}{x^2}.
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属于 0/00/0 型：

lim⁡x→0ex−1−xx2=lim⁡x→0ex−12x=lim⁡x→0ex2=12. \lim_{x\to0}\frac{e^x-1-x}{x^2} =\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{2x} =\lim_{x\to0}\frac{e^x}{2}=\frac12.

练习 6：Taylor 展开​

求

lim⁡x→0ln⁡(1+x)−x+x22x3. \lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)-x+\frac{x^2}{2}}{x^3}.
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ln⁡(1+x)=x−x22+x33+o(x3). \ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+o(x^3).

故分子为 x33+o(x3)\frac{x^3}{3}+o(x^3)，极限为 13\frac13。

练习 7：二阶导数与凸性​

设 f′′(x)>0f''(x)>0（区间 II 内），证明 f′(x)f'(x) 在 II 上严格增。

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任取 x1<x2x_1<x_2。对 f′f' 在 [x1,x2][x_1,x_2] 用拉格朗日中值定理：

f′(x2)−f′(x1)=f′′(ξ)(x2−x1),ξ∈(x1,x2). f'(x_2)-f'(x_1)=f''(\xi)(x_2-x_1),\quad \xi\in(x_1,x_2).

右端大于 00，故 f′(x2)>f′(x1)f'(x_2)>f'(x_1)。

练习 8：莱布尼茨公式​

求 y=(x2+1)exy=(x^2+1)e^x 的 nn 阶导数。

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记 u=x2+1,v=exu=x^2+1,v=e^x，则 v(k)=exv^{(k)}=e^x，u′′=2,u(k)=0(k≥3)u''=2,u^{(k)}=0(k\ge3)。

y(n)=u ex+nu′ex+(n2)u′′ex=ex[x2+1+2nx+n(n−1)]. y^{(n)}=u\,e^x+n u' e^x+\binom{n}{2}u'' e^x =e^x\left[x^2+1+2nx+n(n-1)\right].

三、挑战题​

练习 9：中值定理结构题​

设 f(0)=0f(0)=0，且对任意 x∈(0,1]x\in(0,1] 有 0≤f′(x)≤2f(x)+10\le f'(x)\le 2f(x)+1。证明 f(x)≤e2x−12f(x)\le \frac{e^{2x}-1}{2}。

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设 g(x)=e−2xf(x)g(x)=e^{-2x}f(x)，则

g′(x)=e−2x(f′(x)−2f(x))≤e−2x. g'(x)=e^{-2x}(f'(x)-2f(x))\le e^{-2x}.

积分得

g(x)−g(0)≤∫0xe−2tdt=1−e−2x2. g(x)-g(0)\le \int_0^x e^{-2t}dt=\frac{1-e^{-2x}}{2}.

因 g(0)=0g(0)=0，有

f(x)=e2xg(x)≤e2x⋅1−e−2x2=e2x−12. f(x)=e^{2x}g(x)\le e^{2x}\cdot\frac{1-e^{-2x}}2=\frac{e^{2x}-1}{2}.

练习 10：Taylor 余项估计​

证明当 ∣x∣≤1|x|\le1 时，

∣sin⁡x−(x−x36)∣≤∣x∣5120. |\sin x-(x-\frac{x^3}{6})|\le \frac{|x|^5}{120}.
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对 sin⁡x\sin x 在 0 点做 4 阶 Taylor（拉格朗日余项）：

sin⁡x=x−x36+sin⁡ξ5!x5,ξ∈(0,x). \sin x=x-\frac{x^3}{6}+\frac{\sin \xi}{5!}x^5,\quad \xi\in(0,x).

因此

∣sin⁡x−(x−x36)∣=∣sin⁡ξ∣120∣x∣5≤∣x∣5120. |\sin x-(x-\frac{x^3}{6})|=\frac{|\sin\xi|}{120}|x|^5\le\frac{|x|^5}{120}.

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