高中数学竞赛练习

本页按基础/提高/挑战组织，覆盖不等式、数论、组合与几何四个方向。所有题目均提供折叠解析。

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练习 1：不等式证明（基础）

已知 $a,b,c>0$，证明：

$$a^3+b^3+c^3\ge 3abc.$$

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由 AM-GM：

$$\frac{a^3+b^3+c^3}{3}\ge\sqrt[3]{a^3b^3c^3}=abc.$$

两边乘 3 即得结论。

练习 2：同余方程（基础）

求解：

$$x\equiv1\pmod3,\quad x\equiv2\pmod5.$$

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设 $x=1+3t$，代入第二式：

$$1+3t\equiv2\pmod5\Rightarrow 3t\equiv1\pmod5.$$

因 $3^{-1}\equiv2\pmod5$，得 $t\equiv2\pmod5$。 故最小正解 $x=7$，通解

$$x\equiv7\pmod{15}.$$

练习 3：组合恒等式（提高）

证明：

$$\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}^2=\binom{2n}{n}.$$

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双计数：从两组各 $n$ 人中共选 $n$ 人。

• 若第一组选 $k$ 人，则第二组选 $n-k$ 人，方案数为 $\binom{n}{k}\binom{n}{n-k}=\binom{n}{k}^2$。
• 对 $k$ 求和得左边。
• 直接从 $2n$ 人中选 $n$ 人得右边。

故恒等式成立。

练习 4：分式不等式（提高）

设 $x,y,z>0$ 且 $x+y+z=1$，证明

$$\frac{x}{1-x}+\frac{y}{1-y}+\frac{z}{1-z}\ge\frac32.$$

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令 $f(t)=\frac{t}{1-t}$，在 $(0,1)$ 上有

$$f''(t)=\frac{2}{(1-t)^3}>0,$$

故 $f$ 凸。由 Jensen：

$$\frac{f(x)+f(y)+f(z)}{3}\ge f\!\left(\frac{x+y+z}{3}\right)=f\!\left(\frac13\right)=\frac12.$$

乘以 3 即得结论。

练习 5：二次剩余判定（提高）

判断同余方程 $x^2\equiv5\pmod{11}$ 是否有解。

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模 $11$ 的平方剩余为

$$0^2,1^2,2^2,3^2,4^2,5^2\equiv 0,1,4,9,5,3\pmod{11}.$$

其中包含 $5$，所以有解。由 $4^2\equiv5\pmod{11}$，得解为

$$x\equiv\pm4\pmod{11}.$$

练习 6：塞瓦定理应用（提高）

在 $\triangle ABC$ 中，点 $D,E,F$ 分别在 $BC,CA,AB$ 上，已知

$$\frac{BD}{DC}=2,\quad \frac{CE}{EA}=\frac34,$$

且 $AD,BE,CF$ 共点，求 $\frac{AF}{FB}$。

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由塞瓦定理

$$\frac{BD}{DC}\cdot\frac{CE}{EA}\cdot\frac{AF}{FB}=1,$$

故

$$\frac{AF}{FB}=\frac{1}{2\cdot\frac34}=\frac23.$$

练习 7：递推与特征根（挑战）

数列满足

$$a_{n+2}=3a_{n+1}-2a_n,\quad a_1=1,\ a_2=4.$$

求通项 $a_n$。

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特征方程

$$r^2-3r+2=0\Rightarrow (r-1)(r-2)=0.$$

故

$$a_n=A\cdot1^n+B\cdot2^n=A+B2^n.$$

由初值

$$A+2B=1,\quad A+4B=4\Rightarrow B=\frac32,\ A=-2.$$

所以

$$a_n=3\cdot2^{n-1}-2.$$

练习 8：抽屉原理（挑战）

证明：任取 6 个整数，必存在两个整数之差能被 5 整除。

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把整数按模 5 余数分类，仅有 5 类：

$$0,1,2,3,4\pmod5.$$

任取 6 个整数，依据抽屉原理，至少两个落在同一类。两数同余模 5，因此差被 5 整除。

练习 9：圆幂定理（挑战）

点 $P$ 在圆外，过 $P$ 作割线交圆于 $A,B$，且 $PA=2,PB=18$；作切线 $PT$。求 $PT$。

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切割线-切线定理：

$$PT^2=PA\cdot PB=2\cdot18=36.$$

故 $PT=6$。

练习 10：双计数恒等式（提高）

证明：

$$\sum_{k=0}^{n}k\binom{n}{k}=n2^{n-1}.$$

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计数集合 $S=\{(A,x)\mid A\subseteq[n],x\in A\}$。

• 按 $|A|=k$ 分类：贡献 $k\binom{n}{k}$，总数为左式。
• 按元素 $x$ 分类：每个 $x$ 被 $2^{n-1}$ 个子集包含，共 $n2^{n-1}$。

两种计数相等，结论成立。

练习 11：平面图边数上界（挑战）

设连通平面图有 $V\ge3$ 个顶点、$E$ 条边，且无重边无自环。若每个面至少由 3 条边围成，证明：

$$E\le3V-6.$$

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面边计数得 $3F\le2E$；欧拉公式给出 $V-E+F=2$。 由 $F\le\frac{2E}{3}$ 代回，得

$$2\le V-E+\frac{2E}{3}=V-\frac{E}{3} \Rightarrow E\le3V-6.$$

练习 12：同余与抽屉原理（基础）

证明：任取 11 个整数，必有两个整数之差能被 10 整除。

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按模 10 余数分为 10 类。任取 11 个整数，至少两个落在同一余数类（抽屉原理），故两数同余模 10，差可被 10 整除。

练习 13：Schur 型不等式（挑战）

设 $a,b,c\ge0$，证明

$$a^3+b^3+c^3+3abc\ge a^2b+a^2c+b^2a+b^2c+c^2a+c^2b.$$

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按 Schur 不等式三次型直接成立；也可将右式移项后整理为

$$\frac12\sum_{cyc}(a-b)^2(a+b-c)\ge0$$

（在三元非负下成立）。故原不等式成立。

练习 14：CRT 进阶构造（提高）

求解同余组

$$x\equiv2\pmod3,\quad x\equiv3\pmod4,\quad x\equiv1\pmod5.$$

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先联立前两式：$x=2+3t$，代入得 $3t\equiv1\pmod4$，故 $t\equiv3\pmod4$，即

$$x\equiv11\pmod{12}.$$

再设 $x=11+12s$，代入第三式：

$$11+12s\equiv1\pmod5\Rightarrow1+2s\equiv1\Rightarrow s\equiv0\pmod5.$$

故

$$x\equiv11\pmod{60}.$$

练习 15：原根判定（提高）

判断 3 是否为模 7 的原根。

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$\varphi(7)=6$，检查 $3^{6/2}=3^3=27\equiv6\not\equiv1$， 且 $3^{6/3}=3^2=9\equiv2\not\equiv1\pmod7$。 故 $\operatorname{ord}_7(3)=6$，3 是模 7 的原根。

练习 16：组合构造（挑战）

证明：在任意 9 个整数中，总能选出若干个（至少一个），其和能被 9 整除。

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设前缀和 $S_k=a_1+\cdots+a_k\ (k=1,\dots,9)$。若某个 $S_k\equiv0\pmod9$，结论成立。 否则 $S_1,\dots,S_9$ 的模 9 余数都在 $1\sim8$ 中，共 9 个数放入 8 类，必有 $S_i\equiv S_j\pmod9$（$i<j$）。 则

$$a_{i+1}+\cdots+a_j=S_j-S_i\equiv0\pmod9.$$

故总能找到一段连续子段和被 9 整除。

练习 17：函数方程（挑战）

求满足

$$f(x+y)=f(x)+f(y)+xy,\quad f(0)=0$$

且在 $\mathbb R$ 上连续的函数。

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令 $g(x)=f(x)-\frac{x^2}{2}$，则

$$g(x+y)=f(x+y)-\frac{(x+y)^2}{2}=g(x)+g(y).$$

又 $g$ 连续，故 $g(x)=cx$。因此

$$f(x)=\frac{x^2}{2}+cx.$$

练习 18：几何与代数结合（挑战）

在锐角三角形 $ABC$ 中，设 $a,b,c$ 分别为对边，证明

$$a^2+b^2+c^2\ge4\sqrt{3}\,\Delta$$

其中 $\Delta$ 为三角形面积。

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这是经典的 Weitzenbock 不等式：

$$a^2+b^2+c^2\ge4\sqrt3\,\Delta.$$

可由 Schur 不等式配合海伦公式推得，也可在 $uvw$ 框架下证明。竞赛中通常作为标准结论调用，等号当且仅当三角形为正三角形。

练习 19：Vieta 结构（基础）

已知二次方程 $x^2-sx+p=0$ 的两根为 $2,5$，求 $s,p$。

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由 Vieta：

$$s=2+5=7,\quad p=2\cdot5=10.$$

练习 20：整系数根筛选（提高）

求方程

$$x^3-2x^2-5x+6=0$$

的所有整数根。

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整数根候选为 $\pm1,\pm2,\pm3,\pm6$。 代入得 $P(1)=0$，故有因子 $(x-1)$。 继续分解：

$$x^3-2x^2-5x+6=(x-1)(x^2-x-6)=(x-1)(x-3)(x+2).$$

整数根为 $1,3,-2$。

练习 21：重根参数（提高）

求参数 $a$，使

$$x^2-2ax+a^2+a-2=0$$

有重根。

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重根条件是判别式为 0：

$$\Delta=(2a)^2-4(a^2+a-2)=8-4a.$$

令 $\Delta=0$，得 $a=2$。

练习 22：四次方程代换（挑战）

解方程

$$x^4-10x^2+9=0.$$

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设 $u=x^2$，得

$$u^2-10u+9=0\Rightarrow (u-1)(u-9)=0.$$

故 $u=1$ 或 $u=9$，于是

$$x=\pm1,\pm3.$$

练习 23：倒数型方程（挑战）

解方程

$$x+\frac{4}{x}=5,\quad x\ne0.$$

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乘以 $x$：

$$x^2-5x+4=0=(x-1)(x-4).$$

故解为 $x=1$ 或 $x=4$。

练习 24：根的幂和（挑战）

设 $\alpha,\beta$ 是方程 $x^2-3x+1=0$ 的两根，求

$$\alpha^2+\beta^2.$$

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由 Vieta：$\alpha+\beta=3,\ \alpha\beta=1$。

$$\alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta=9-2=7.$$

练习 25：一次递推通项（基础）

已知

$$a_{n+1}=2a_n+1,\quad a_1=1.$$

求 $a_n$。

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设 $b_n=a_n+1$，则

$$b_{n+1}=2b_n,\quad b_1=2.$$

故 $b_n=2^n$，从而

$$a_n=2^n-1.$$

练习 26：二阶递推（提高）

数列满足

$$a_{n+2}=3a_{n+1}-2a_n,\quad a_1=2,\ a_2=3.$$

求 $a_n$。

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特征方程

$$r^2-3r+2=0\Rightarrow r=1,2.$$

故

$$a_n=A+B2^n.$$

由初值

$$A+2B=2,\quad A+4B=3$$

得 $B=\frac12,\ A=1$，

$$a_n=1+2^{n-1}.$$

练习 27：不动点方程（提高）

设 $x_1>0$，

$$x_{n+1}=\frac{x_n+3}{x_n+1}.$$

求其可能极限。

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若极限存在为 $L$，则

$$L=\frac{L+3}{L+1}\Rightarrow L^2=3.$$

因 $x_n>0$，取

$$L=\sqrt3.$$

练习 28：根式迭代极限（挑战）

设 $x_1=0$，

$$x_{n+1}=\sqrt{3+x_n}.$$

求 $\lim x_n$。

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先证 $x_n<\frac{1+\sqrt{13}}2$（由不动点上界归纳），且

$$x_{n+1}\ge x_n$$

可由 $3+x_n\ge x_n^2$ 验证成立，故单调有界收敛。 设极限为 $L$：

$$L=\sqrt{3+L}\Rightarrow L^2-L-3=0.$$

取正根：

$$L=\frac{1+\sqrt{13}}2.$$

练习 29：迭代收敛速度（挑战）

设 $x_1\in(0,2)$，

$$x_{n+1}=\frac{x_n+2}{2}.$$

求 $x_n$ 通项并判断极限。

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令 $y_n=x_n-2$，则

$$y_{n+1}=\frac12y_n.$$

所以

$$y_n=\left(\frac12\right)^{n-1}(x_1-2),$$

即

$$x_n=2+\left(\frac12\right)^{n-1}(x_1-2)\to2.$$

练习 30：函数迭代与不变量（挑战）

设 $x_1>0$，

$$x_{n+1}=\frac{2x_n}{1+x_n^2}.$$

证明：若 $x_1=1$，则对任意 $n$ 都有 $x_n=1$。

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验证不动点：

$$\frac{2\cdot1}{1+1^2}=1.$$

由递推定义，若 $x_n=1$ 则 $x_{n+1}=1$。又 $x_1=1$，归纳得

$$x_n\equiv1.$$

这体现了“先找不动点，再看初值是否落在不动点上”的竞赛思路。

练习 31：和角公式应用（基础）

已知 $\sin x=\frac35,\cos x=\frac45$（$x$ 为第一象限角），求 $\sin 2x$。

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$$\sin2x=2\sin x\cos x=2\cdot\frac35\cdot\frac45=\frac{24}{25}.$$

练习 32：三角方程（提高）

解方程

$$\sin x+\sin2x=0,\quad x\in[0,2\pi).$$

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提取公因式：

$$\sin x(1+2\cos x)=0.$$

故

$$\sin x=0 \Rightarrow x=0,\pi;$$

或

$$\cos x=-\frac12 \Rightarrow x=\frac{2\pi}{3},\frac{4\pi}{3}.$$

综上解为

$$x=0,\frac{2\pi}{3},\pi,\frac{4\pi}{3}.$$

练习 33：半角换元（挑战）

设 $t=\tan\frac x2$，把

$$\frac{1-\cos x}{\sin x}$$

化为 $t$ 的有理式。

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半角公式：

$$\sin x=\frac{2t}{1+t^2},\quad \cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2}.$$

故

$$\frac{1-\cos x}{\sin x} =\frac{1-\frac{1-t^2}{1+t^2}}{\frac{2t}{1+t^2}} =\frac{\frac{2t^2}{1+t^2}}{\frac{2t}{1+t^2}}=t.$$

练习 34：复数运算（基础）

设 $z=2-3i$，求 $\frac{1}{z}$。

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$$\frac1z=\frac{\bar z}{|z|^2}=\frac{2+3i}{2^2+(-3)^2}=\frac{2+3i}{13}.$$

练习 35：复数模与不等式（提高）

设 $|z-1|=2$，求 $|z|$ 的取值范围。

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几何上，$z$ 在以 $1$ 为圆心、半径 2 的圆上。 到原点距离满足三角不等式：

$$||z-1|-|1||\le|z|\le|z-1|+|1|.$$

代入得

$$1\le|z|\le3.$$

练习 36：单位根方程（挑战）

解方程

$$z^3=8i.$$

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写成极形式：

$$8i=8\left(\cos\frac\pi2+i\sin\frac\pi2\right).$$

三次根为

$$z_k=2\left(\cos\frac{\pi/2+2k\pi}{3}+i\sin\frac{\pi/2+2k\pi}{3}\right),\ k=0,1,2.$$

即幅角分别为

$$\frac\pi6,\ \frac{5\pi}6,\ \frac{3\pi}2.$$