初中数学竞赛练习

按“代数-几何-数论-组合-面积法”分层练习。每题都可点击查看过程与答案。

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A. 代数变形

练习 1

分解因式：$x^4+4$。

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解析

$x^4+4=x^4+4x^2+4-4x^2=(x^2+2)^2-(2x)^2.$

所以

$(x^2-2x+2)(x^2+2x+2).$

答案

$(x^2-2x+2)(x^2+2x+2)$。

练习 2

已知 $a+b=5,ab=6$，求 $a^2+b^2$。

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解析

$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=25-12=13.$

答案

$13$。

练习 3

化简：$\sqrt{13-4\sqrt{10}}$。

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解析

设原式 $=\sqrt{(\sqrt m-\sqrt n)^2}$，则

$m+n=13,\ mn=40,$

可取 $m=8,n=5$，故原式

$=|\sqrt8-\sqrt5|=2\sqrt2-\sqrt5.$

答案

$2\sqrt2-\sqrt5$。

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B. 圆与几何

练习 4

在圆内接四边形 $ABCD$ 中，已知 $AB=3,BC=4,CD=2,DA=5,AC=6$，求 $BD$。

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解析

托勒密定理：

$AC\cdot BD=AB\cdot CD+AD\cdot BC=3\cdot2+5\cdot4=26.$

故

$BD=\frac{26}{6}=\frac{13}{3}.$

答案

$\dfrac{13}{3}$。

练习 5

圆外点 $P$ 作切线 $PT$ 与割线 $PAB$，已知 $PT=6,PA=4$，求 $PB$。

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解析

切割线定理：

$PT^2=PA\cdot PB.$

代入：$36=4\cdot PB$，得 $PB=9$。

答案

$9$。

练习 6

在半径为 5 的圆中，弦长为 8，求圆心到弦的距离。

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解析

弦的一半为 4，作垂线得直角三角形：

$d^2+4^2=5^2\Rightarrow d^2=9\Rightarrow d=3.$

答案

$3$。

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C. 数论

练习 7

求 $3^{100}\pmod 8$。

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解析

$3^2=9\equiv1\pmod8$，周期为 2。

$3^{100}=(3^2)^{50}\equiv1^{50}=1\pmod8.$

答案

$1$。

练习 8

解方程 $15x+21y=6$ 的整数解。

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解析

$\gcd(15,21)=3\mid6$，有解。先化简：

$5x+7y=2.$

一组特解：$x=6,y=-4$（因为 $5\cdot6+7\cdot(-4)=2$）。 通解：

$x=6+7k,\ y=-4-5k,\ k\in\mathbb Z.$

答案

$x=6+7k,\ y=-4-5k,\ k\in\mathbb Z$。

练习 9

求最小正整数 $n$，使得 $n$ 有恰好 18 个正约数。

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解析

18 的分解：$18,9\times2,6\times3,3\times3\times2$。 对应最小值分别比较：

• $2^{17}$ 很大；
• $2^8\cdot3=768$；
• $2^5\cdot3^2=288$；
• $2^2\cdot3^2\cdot5=180$。 最小是 180。

答案

$180$。

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D. 组合与逻辑

练习 10

从 1 到 9 中任取 5 个数，证明必有两个数的差是 4 的倍数。

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解析

按模 4 分类：

• 余 0：8
• 余 1：9
• 余 2：6
• 余 3：7 共有 4 类，取 5 个数，抽屉原理知有两个同余于模 4，差即为 4 的倍数。

答案

命题成立。

练习 11

将 7 个球放入 3 个盒子（盒子可空），求分配方案数。

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解析

设三盒球数分别为 $x_1,x_2,x_3$，则

$x_1+x_2+x_3=7,\ x_i\ge0.$

用隔板法：

$\binom{7+3-1}{3-1}=\binom92=36.$

答案

$36$。

练习 12

棋盘染色后，删除一个黑格和一个白格，是否总能用 $1\times2$ 多米诺完全覆盖剩余格子？

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解析

每块多米诺覆盖 1 黑 1 白。删去一个黑格和一个白格后，黑白数量仍相等，这是可覆盖的必要条件，但不是充分条件。 例如在某些形状被割裂成不连通区域时仍可能不可覆盖。

答案

不一定总能覆盖。

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E. 综合提升

练习 13

设正整数 $n$ 满足 $n\equiv 2\pmod 3$ 且 $n\equiv 3\pmod 5$，求最小正整数 $n$。

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解析

按模 3 同余于 2 的数：$2,5,8,11,14,17,\dots$。 其中模 5 同余于 3 的最小数是 $8$。

答案

$8$。

练习 14

在 $\triangle ABC$ 中，已知 $AB=AC=10,BC=12$，求外接圆半径 $R$。

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解析

先求高：底边一半为 6，

$h=\sqrt{10^2-6^2}=8.$

面积

$S=\frac12\cdot12\cdot8=48.$

由公式

$R=\frac{abc}{4S}=\frac{10\cdot10\cdot12}{4\cdot48}=\frac{25}{4}.$

答案

$\dfrac{25}{4}$。

练习 15

将 10 个不同的球分给甲乙丙三人，每人至少 1 个，问分配方案数。

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解析

总分配数：每球 3 选 1，共 $3^{10}$。 减去某人空手：$\binom31\cdot2^{10}$。 加回两人空手：$\binom32\cdot1^{10}$。 故

$3^{10}-3\cdot2^{10}+3=55980.$

答案

$55980$。

练习 16

证明：任意 6 个整数中，必有两个整数之差能被 5 整除。

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解析

按模 5 余数分成 5 类（0,1,2,3,4）。 任取 6 个整数，抽屉原理保证至少两个落在同一余数类。 两数同余模 5，则差可被 5 整除。

答案

命题成立。

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F. 不等式与函数方程

练习 17

若 $x>0$，求 $x+\dfrac{9}{x}$ 的最小值。

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解析

由 AM-GM：

$x+\frac{9}{x}\ge 2\sqrt{x\cdot\frac{9}{x}}=6.$

当 $x=\dfrac{9}{x}$，即 $x=3$ 时取等。

答案

最小值为 $6$。

练习 18

解不等式：

$\frac{x+1}{x-2}\le2,\quad x\ne2.$

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解析

移项得

$\frac{x+1-2(x-2)}{x-2}=\frac{5-x}{x-2}\le0.$

临界点为 $x=2,5$，分区间判断可得

$x\in(-\infty,2)\cup[5,+\infty).$

答案

$x\in(-\infty,2)\cup[5,+\infty)$。

练习 19

设 $f:\mathbb Z\to\mathbb Z$ 满足

$f(x+y)=f(x)+f(y),\quad f(3)=12.$

求 $f(10)$。

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解析

由可加性，$f(3)=3f(1)=12$，得 $f(1)=4$。 故

$f(10)=10f(1)=40.$

答案

$40$。

练习 20

已知函数满足

$f(x)+f(8-x)=x^2-8x+26,$

求 $f(4)$。

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解析

令 $x=4$，得

$2f(4)=16-32+26=10,$

所以

$f(4)=5.$

答案

$5$。

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G. 面积法与相似构造

练习 21

在 $\triangle ABC$ 中，点 $D$ 在 $BC$ 上，且 $BD:DC=3:2$。求

$S_{ABD}:S_{ACD}.$

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解析

$\triangle ABD$ 与 $\triangle ACD$ 同高，面积比等于底边比：

$S_{ABD}:S_{ACD}=BD:DC=3:2.$

答案

$3:2$。

练习 22

在 $\triangle ABC$ 中，点 $D$ 在 $BC$ 上。若

$S_{ABD}=20,\quad S_{ACD}=30,\quad BC=25,$

求 $BD$ 与 $DC$。

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解析

同高面积比得

$BD:DC=20:30=2:3.$

设 $BD=2k,DC=3k$，则 $5k=25$，$k=5$。 故 $BD=10,DC=15$。

答案

$BD=10,\ DC=15$。

练习 23

在 $\triangle ABC$ 中，$D\in AB$，过 $D$ 作 $DE\parallel BC$ 交 $AC$ 于 $E$。若

$AD:AB=1:2,\quad S_{ABC}=40,$

求 $S_{ADE}$。

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解析

$\triangle ADE\sim\triangle ABC$，面积比为相似比平方：

$\frac{S_{ADE}}{S_{ABC}}=\left(\frac{1}{2}\right)^2=\frac14.$

故

$S_{ADE}=40\cdot\frac14=10.$

答案

$10$。

练习 24

在 $\triangle ABC$ 中，点 $D$ 在 $BC$ 上，且

$S_{ABD}:S_{ABC}=2:7.$

求 $BD:BC$。

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解析

$\triangle ABD$ 与 $\triangle ABC$ 共享从 $A$ 到 $BC$ 的高，面积比等于底边比：

$\frac{S_{ABD}}{S_{ABC}}=\frac{BD}{BC}=\frac27.$

答案

$BD:BC=2:7$。

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H. 平移对称与最短路径构造

练习 25

点 $A(0,3),B(8,1)$，点 $P$ 在 $x$ 轴上。求 $AP+PB$ 的最小值。

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解析

将 $A$ 关于 $x$ 轴对称到 $A'(0,-3)$，则

$\min(AP+PB)=A'B=\sqrt{(8-0)^2+(1+3)^2}=\sqrt{64+16}=4\sqrt5.$

答案

$4\sqrt5$。

练习 26

矩形 $ABCD$ 中，$AB=9,BC=12$。点 $P$ 在 $BC$ 上，求 $AP+PD$ 的最小值。

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解析

设 $A(0,0),B(9,0),C(9,12),D(0,12)$，把 $D$ 关于 $x=9$ 对称到 $D'(18,12)$。 则

$\min(AP+PD)=AD'=\sqrt{18^2+12^2}=\sqrt{468}=6\sqrt{13}.$

答案

$6\sqrt{13}$。

练习 27

点 $A,B$ 在直线 $l$ 同侧，点 $P\in l$。若 $A$ 关于 $l$ 的对称点为 $A'$，写出 $PA+PB$ 最小值。

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解析

有 $PA=PA'$，故

$PA+PB=PA'+PB\ge A'B.$

等号在 $P$ 为直线 $A'B$ 与 $l$ 交点时成立。

答案

最小值为 $A'B$。

练习 28

点 $A(-3,2),B(5,6)$，点 $P$ 在直线 $y=0$ 上。求 $AP+PB$ 的最小值。

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解析

将 $A$ 关于 $y=0$ 对称到 $A'(-3,-2)$，则

$\min(AP+PB)=A'B=\sqrt{(5+3)^2+(6+2)^2}=\sqrt{64+64}=8\sqrt2.$

答案

$8\sqrt2$。

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I. 不变量与染色构造

练习 29

有 12 个整数，每次任选两个数都加 1。问经过若干步后，所有数之和的奇偶性是否可能改变？

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解析

每次操作使总和增加 2，为偶数增量，因此总和奇偶性保持不变。

答案

不可能改变，总和奇偶性不变。

练习 30

数轴上从 0 出发，每步可走 +7 或 -5。问能否到达点 1？

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解析

设向右走 $x$ 次，向左走 $y$ 次，则位置为

$7x-5y.$

需满足

$7x-5y=1.$

模 5 得 $2x\equiv1\pmod5$，即 $x\equiv3\pmod5$。 取最小正值 $x=3$，代入得 $21-5y=1$，故 $y=4$。 存在非负整数解，可达。

答案

能到达（例如 +7,+7,+7,-5,-5,-5,-5）。

练习 31

8x8 棋盘删去两个同色格后，能否一定被 1x2 骨牌覆盖？

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解析

棋盘黑白染色后，删去两个同色格会造成黑白格数量不等。每个骨牌覆盖一黑一白，因此覆盖后黑白数量必须相等，矛盾。

答案

不能覆盖。

练习 32

有 9 枚硬币全为正面。每次必须翻转恰好 2 枚。问能否得到“恰好 8 枚反面”？

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解析

记反面数为 $k$。每次翻转 2 枚，$k$ 的变化量只能是 $-2,0,+2$，所以 $k$ 的奇偶性保持不变。 初始 $k=0$ 为偶数，目标 $k=8$ 也是偶数，不被排除。 构造可行：先连续翻转 4 对互不重叠硬币，可得到 8 枚反面。

答案

能得到恰好 8 枚反面。