实变函数专题练习

本页服务于实变函数学习路径三站内容：

1. Lebesgue 测度
2. Lebesgue 积分与收敛定理
3. $L^p$ 空间与估计

所有题目均采用“答案折叠”形式，先独立作答再展开对照。

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A. 可测性与零测集

A1（基础）可数集零测

证明：任意可数集 $E\subset \mathbb{R}$ 都是零测集。

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设 $E=\{x_n\}_{n\ge 1}$。给定 $\varepsilon>0$，取

$$I_n=\left(x_n-\frac{\varepsilon}{2^{n+2}},x_n+\frac{\varepsilon}{2^{n+2}}\right).$$

则 $E\subset \bigcup_{n=1}^{\infty}I_n$，且

$$\sum_{n=1}^{\infty}|I_n| =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\varepsilon}{2^{n+1}} <\varepsilon.$$

故 $m(E)=0$。

A2（基础）零测集的子集

证明：若 $N$ 为零测集，任意 $A\subset N$ 都 Lebesgue 可测且 $m(A)=0$。

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由单调性 $m^*(A)\le m^*(N)=0$，故 $m^*(A)=0$。外测度为零的集合满足 Carathéodory 条件，因此可测且测度为零。

A3（提高）Cantor 集测度

证明 Cantor 集 $C$ 满足 $m(C)=0$，并解释为何“不可数”与“零测”不矛盾。

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第 $n$ 步保留长度为 $(2/3)^n$，且 $C$ 包含于每一步保留集合，故

$$m(C)\le (2/3)^n,\quad \forall n.$$

令 $n\to\infty$ 得 $m(C)=0$。
不可数描述“基数大小”，测度描述“几何长度”，二者是不同尺度。

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B. 收敛定理与积分交换

B1（基础）MCT 直接应用

设 $f_n(x)=x^n\chi_{[0,1]}(x)$。求

$$\lim_{n\to\infty}\int_0^1\sum_{k=0}^n x^k\,dx.$$

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记 $g_n(x)=\sum_{k=0}^n x^k$，则 $g_n\uparrow g=\frac{1}{1-x}$（在 $[0,1)$ 上）。
由于 $\int_0^1\frac{1}{1-x}\,dx$ 发散，按单调收敛定理：

$$\lim_{n\to\infty}\int_0^1 g_n\,dx =\int_0^1 g\,dx =+\infty.$$

B2（基础）Fatou 引理判断

设 $f_n\ge 0$ 可测，且 $\int f_n\le 2$。证明

$$\int \liminf_{n\to\infty} f_n \le 2.$$

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由 Fatou 引理：

$$\int \liminf f_n \le \liminf \int f_n \le 2.$$

证毕。

B3（提高）DCT 交换极限与积分

计算

$$\lim_{n\to\infty}\int_0^1\frac{x}{1+n^2x^2}\,dx.$$

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逐点极限为 $0$。并且

$$0\le \frac{x}{1+n^2x^2}\le x,\quad x\in[0,1],$$

而 $x\in L^1[0,1]$。由 DCT，

$$\lim_{n\to\infty}\int_0^1\frac{x}{1+n^2x^2}\,dx =\int_0^1 0\,dx=0.$$

B4（挑战）a.e. 收敛但非 $L^1$ 收敛

在 $(0,1)$ 上构造 $f_n\to 0$ a.e.，但 $\|f_n\|_1\nrightarrow 0$ 的例子。

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取

$$f_n(x)=n\chi_{(0,1/n)}(x).$$

对任意固定 $x>0$，当 $n>1/x$ 时 $f_n(x) = 0$，故 a.e. 收敛到 0。
但

$$\|f_n\|_1=\int_0^1 n\chi_{(0,1/n)}\,dx=1.$$

故不在 $L^1$ 中收敛到 0。

B5（提高）Egorov 定理的应用

证明：若 $m(E) < \infty$，$f_n \to f$ a.e. 且 $f$ 几乎处处有限，则 $f_n \xrightarrow{m} f$（依测度收敛）。

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对任意 $\varepsilon > 0$ 和 $\delta > 0$，由 Egorov 定理，存在 $A \subset E$ 使得 $m(E \setminus A) < \delta$ 且 $f_n \to f$ 在 $A$ 上一致收敛。
存在 $N$ 使得当 $n > N$ 时，对所有 $x \in A$ 有 $|f_n(x) - f(x)| < \varepsilon$。
因此 $\{x \in E \mid |f_n(x) - f(x)| \ge \varepsilon\} \subset E \setminus A$。
故 $m(\{x \in E \mid |f_n(x) - f(x)| \ge \varepsilon\}) \le m(E \setminus A) < \delta$。
证毕。

B6（提高）Lusin 定理与逼近

设 $f$ 在 $[a, b]$ 上可测，证明存在连续函数序列 $\{g_n\}$ 使得 $g_n \to f$ a.e.。

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由 Lusin 定理，对每个 $n$，存在闭集 $F_n$ 使得 $m([a,b] \setminus F_n) < 1/2^n$ 且 $f|_{F_n}$ 连续。
由 Tietze 扩张定理，存在连续函数 $g_n$ 使得 $g_n|_{F_n} = f|_{F_n}$。
令 $A = \bigcup_{k=1}^\infty \bigcap_{n=k}^\infty F_n$，由 Borel-Cantelli 引理（或直接构造）知 $m([a,b] \setminus A) = 0$。
对任意 $x \in A$，当 $n$ 足够大时 $x \in F_n$，故 $g_n(x) = f(x)$。
结论成立。

B7（进阶）MCT 与下降序列

证明：若 $f_n \downarrow f$ a.e. 且 $\int f_1 < \infty$，则 $\int f_n \to \int f$。并说明 $\int f_1 < \infty$ 为何必要。

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令 $g_n = f_1 - f_n$。则 $g_n \ge 0$ 且 $g_n \uparrow (f_1 - f)$。
由 MCT：$\int (f_1 - f_n) \to \int (f_1 - f)$。
由积分线性性（因 $\int f_1 < \infty$）：$\int f_1 - \int f_n \to \int f_1 - \int f$。
从而 $\int f_n \to \int f$。
反例：$f_n = \chi_{[n, \infty)}$ 在 $\mathbb{R}$ 上，$f_n \downarrow 0$ 但 $\int f_n = \infty \not\to 0$。

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C. $L^p$ 空间与估计

C1（基础）幂函数可积性

判别 $f(x)=x^{-\alpha}$ 在 $(0,1)$ 上属于 $L^p$ 的条件。

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$$f\in L^p(0,1)\iff \int_0^1 x^{-\alpha p}\,dx<\infty \iff \alpha p<1.$$

C2（提高）有限测度空间嵌入

设 $\mu(E)<\infty$，证明 $L^\infty(E)\subset L^p(E)$ 且

$$\|f\|_p\le \mu(E)^{1/p}\|f\|_\infty.$$

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由 $|f|\le \|f\|_\infty$ a.e.，得

$$\int_E |f|^p\,d\mu \le \|f\|_\infty^p\mu(E)<\infty.$$

开 $p$ 次方即得结论。

C3（提高）Hölder 不等式应用

设 $f\in L^2(0,1)$，证明 $f\in L^1(0,1)$ 并给出估计。

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取共轭指数 $2,2$，对 $|f|$ 与 $1$ 应用 Hölder：

$$\|f\|_1=\int_0^1 |f|\cdot 1 \le \|f\|_2\|1\|_2 =\|f\|_2.$$

故 $L^2(0,1)\subset L^1(0,1)$。

C4（挑战）收敛方式辨析

设 $f_n(x)=x^n$ on $[0,1]$。判断其对 0 的 a.e. 收敛、依测度收敛、$L^p$ 收敛（$1\le p<\infty$）。

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1. a.e. 收敛：在 $[0,1)$ 上趋于 0，$x=1$ 处为 1；故 a.e. 收敛到 0。
2. $L^p$ 收敛：

$$\|f_n\|_p^p=\int_0^1 x^{np}\,dx=\frac{1}{np+1}\to 0.$$

故在 $L^p$ 中收敛到 0。
3. 依测度收敛由 $L^p$ 收敛推出，也成立。

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使用建议

1. A 组先做完再进入 B 组，建立“可测性 -> 积分 -> 收敛”的主线。
2. B4 与 C4 要重点比较收敛方式差异。
3. 做完后返回三站正文复盘定义与定理证明细节。