奥数代数：巧算、数列与裂项
本章目标：把“算得快”升级为“看结构、会变形、能检验”。
一、知识点总览
1. 巧算的三条主线
- 凑整与拆分：把复杂式子改写成接近整十、整百的形式。
- 乘法分配与提取公因数：先观察能否提同因子，再决定计算顺序。
- 基准数法：把多个数看成“基准数 + 偏差”。
2. 等差数列与周期规律
- 等差数列通项：
a_n=a_1+(n-1)d。 - 等差数列求和：
S_n=(a_1+a_n)n/2。 - 周期问题：先找最小循环节，再用“除以周期取余”。
3. 裂项求和
- 基本裂项：
1/[n(n+1)]=1/n-1/(n+1)。 - 变式裂项：
k/[n(n+k)]=1/n-1/(n+k)。 - 使用条件：分母是两项相乘且两项差为常数时优先尝试。
4. 和差倍与逆推思想（代数化）
- 和差问题：
大=(和+差)/2，小=(和-差)/2。 - 倍比问题：把未知量写成“每份 x”。
- 逆推：从最后一步倒推到初始状态。
二、教材化例题
例题 1：凑整与拆分
计算：398+497+602+503。
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把数配对：398+602=1000，497+503=1000，总和 2000。
答案：2000
例题 2：基准数法
计算：49×51。
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以 50 为基准：
49×51=(50-1)(50+1)=50^2-1=2500-1=2499。
答案：2499
例题 3：提取公因数
计算：125×48+75×48。
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提取公因数 48：
125×48+75×48=(125+75)×48=200×48=9600。
答案：9600
例题 4：等差数列求和
求和：3+7+11+...+99。
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首项 3，末项 99，公差 4。项数
n=(99-3)/4+1=25。
所以
S=(3+99)×25/2=102×25/2=1275。
答案：1275
例题 5：裂项求和
计算：1/(2×3)+1/(3×4)+...+1/(20×21)。
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每项裂为 1/n-1/(n+1)（n 从 2 到 20）：
(1/2-1/3)+(1/3-1/4)+...+(1/20-1/21)。
中间项全部抵消，得 1/2-1/21=19/42。
答案：19/42
例题 6：周期规律
求 7^2026 的个位数。
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7 的个位循环：7,9,3,1，周期 4。
2026÷4 余 2，对应循环第 2 项 9。
答案：9
例题 7：和差倍综合
甲乙两数和为 144，甲比乙的 2 倍少 6，求甲乙。
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设乙为 x，甲为 2x-6。
(2x-6)+x=144，得 3x=150，x=50。
甲 =2×50-6=94。
**答案：**甲 94，乙 50
三、本章小练习
练习 A1
计算：999×37+37。
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999×37+37=37(999+1)=37×1000=37000。
答案：37000
练习 A2
求和：1+4+7+...+88。
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首项 1，末项 88，公差 3，项数
n=(88-1)/3+1=30。
S=(1+88)×30/2=1335。
答案：1335
练习 A3
计算：1/(5×6)+1/(6×7)+...+1/(14×15)。
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裂项后为 1/5-1/15=2/15。
答案：2/15