奥数几何：面积法与比例法
小学奥数几何重在“转化”。把长度关系转为面积比，把复杂图形拆为可计算的基本图形。
一、核心知识点
1. 等底同高与同高比底
- 三角形面积公式：
S=底×高÷2。 - 等底同高，面积相等。
- 同高三角形面积比等于底边比；同底三角形面积比等于高比。
例题 1（同高比底）
在同一直线上，三角形 ABC 与 ABD 有公共高，且 BC:BD=3:5。若 S(ABC)=12，求 S(ABD)。
点击查看解析与答案
同高三角形面积比等于底边比：
S(ABC):S(ABD)=BC:BD=3:5。
所以 S(ABD)=12×5/3=20。
答案：20
例题 2（中点等积）
在三角形 ABC 中，M 是 BC 中点。若 S(ABC)=30，求 S(ABM) 与 S(ACM)。
点击查看解析与答案
BM=CM，且 ABM 与 ACM 对 BC 同高，所以面积相等。
两者和为 S(ABC)=30，各为 15。
答案：15 和 15
2. 比例分割与燕尾模型
- 在三角形中，若同顶点连到底边分点，面积比等于底边分段比。
- 常用于“已知两块面积，反求线段比”题型。
例题 3（面积反推线段比）
在 △ABC 中，D 在 BC 上，已知 S(ABD)=18，S(ACD)=12，求 BD:DC。
点击查看解析与答案
两三角形同高（从 A 到 BC），面积比等于底边比：
BD:DC=18:12=3:2。
答案：3:2
例题 4（两层比例）
在 △ABC 中，D 在 BC 上且 BD:DC=2:3。若 E 在 AD 上且 AE:ED=1:2，已知 S(ABC)=75，求 S(AEC)。
点击查看解析与答案
先求 S(ADC)=75×3/(2+3)=45。
在 △ADC 中，E 把 AD 分成 1:2，所以 AE/AD=1/3。
同底 AC 的三角形面积比等于高比，
S(AEC)=S(ADC)×1/3=15。
答案：15
3. 割补法与规则图形
- 复杂图形常通过“平移、旋转、拼接”转成矩形、三角形、扇形。
- 面积守恒：割补前后总面积不变。
例题 5（割补成长方形）
平行四边形底为 12，高为 7，求面积，并说明为何可用“底×高”。
点击查看解析与答案
将一侧三角形割下平移到另一侧，可拼成同底同高的长方形，面积不变。
所以面积 12×7=84。
答案：84
例题 6（扇形拼合）
半径为 6 的圆被平均分成 12 个扇形，取其中 5 个，求总面积。
点击查看解析与答案
整圆面积 π×6^2=36π，5 个扇形占 5/12：
36π×5/12=15π。
答案：15π
4. 周长不变与最值意识
- 同面积图形中，形状越“接近圆”周长越短（小学阶段用直观比较）。
- 同周长下，长方形越接近正方形面积越大。
例题 7（固定周长求面积）
长方形周长 40，当长和宽分别为多少时面积最大？最大面积是多少？
点击查看解析与答案
设长 a、宽 b，有 a+b=20。面积 ab 在 a=b 时最大，故 a=b=10。
最大面积 100。
**答案：**边长 10、10，最大面积 100
二、章内练习（全部折叠答案）
练习 1
同高三角形底边比为 4:7，若小三角形面积是 20，大三角形面积是多少？
点击查看过程与答案
面积比等于底比，20:x=4:7，得 x=35。
答案：35
练习 2
△ABC 中，D 在 BC 上，BD:DC=5:3，若 S(ABD)=25，求 S(ABC)。
点击查看过程与答案
S(ABD):S(ACD)=5:3，S(ACD)=15，总面积 25+15=40。
答案：40
练习 3
半径为 4 的圆中，圆心角 135° 的扇形面积是多少？
点击查看过程与答案
S=135/360×π×4^2=6π。
答案：6π
练习 4
一个长方形周长为 30，当长为 8 时面积是多少？若要面积最大应取哪组边长？
点击查看过程与答案
a+b=15，当 a=8 时 b=7，面积 56。
面积最大时 a,b 尽量接近，取 7.5 与 7.5，最大面积 56.25。
**答案：**当前面积 56；最大时边长 7.5,7.5，面积 56.25