小学奥数：数阵与最值
数阵与最值是小学奥数里非常高频的一类题。核心是把题目转成“固定和”“固定差”“局部交换”三种结构，再用不等式或构造法找最大值、最小值。
一、核心知识点
1. 固定和下的最值
- 若若干数的和固定，想让某个数尽量大，就要让其余数尽量小（满足题目限制）。
- 若若干数的和固定，想让某个数尽量小，就要让其余数尽量大（满足题目限制）。
2. 固定差下的最值
- 已知两数差固定时，和越大两数整体越大；和越小两数整体越小。
- 已知两数和与差，可直接用和差公式回代：
- 大数 =
(和 + 差) ÷ 2 - 小数 =
(和 - 差) ÷ 2
- 大数 =
3. 排列中的局部最优
- 让和最大：大数放在权重更高的位置（如高位、被重复计算更多次的位置）。
- 让和最小：小数放在权重更高的位置。
4. 数阵平衡思想
- 行和、列和都相等的方阵，通常先用“总和 = 行数 × 每行和”求公共行和，再逐格补全。
- 缺失格可用“整行/整列和 - 已知格和”快速求出。
二、例题精讲
例题 1：固定和的最大最小
三个不同的正整数和为 24，求最大数的最大可能值与最小可能值。
解题：
- 最大数尽量大：其余两个不同正整数取最小
1,2，则最大数24-1-2=21。 - 最大数尽量小：三个数尽量接近且不同，可取
7,8,9，最大数为9。
**答案：**最大可能值 21，最小可能值 9。
例题 2：两位数重排最值
用数字 1,3,5,7 各用一次组成两个两位数，求这两个两位数和的最大值。
解题：
两位数和 = 10×(两个十位数字之和) + (两个个位数字之和)。
十位权重大，应把大数字放十位，即 7,5 放十位，3,1 放个位。
可组成 73 与 51，和为 124（或 71 与 53，和同样 124）。
答案：124。
例题 3：3×3 数阵补全
在 3×3 方阵中，每行和每列和都等于同一个数 S。已知：
- 第一行：
8, 5, 7 - 第二行：
6, x, 9 - 第三行：
4, 10, y求x,y。
解题：
第一行和 S=8+5+7=20。
第二行：6+x+9=20，得 x=5。
第三行：4+10+y=20，得 y=6。
答案：x=5, y=6。
例题 4：连续整数中的最值
五个连续整数的和为 85，求这五个数中最大数与最小数。
解题：
中间数为 85÷5=17。
五个数是 15,16,17,18,19。
**答案：**最小数 15，最大数 19。
例题 5：位置权重最值
把 2,4,6 填入三位数的百位、十位、个位（各用一次），求可组成三位数中的最大与最小。
解题：
- 最大：大数放高位，
642。 - 最小：小数放高位，
246。
**答案：**最大 642，最小 246。
三、常见误区
- 只看数字大小，不看位置权重（百位和个位权重不同）。
- “不同正整数”漏掉“不同”条件，导致取值非法。
- 数阵题没有先算公共行和，直接硬凑单元格。
四、章节练习（点击展开答案）
练习 1
四个不同正整数和为 30，最大数最大能是多少？
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其余三个不同正整数最小取 1,2,3，最大数为 30-1-2-3=24。
答案：24
练习 2
用 0,2,4,6 组成两个两位数（每个数字用一次，十位不能为 0），求两数和的最小值。
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十位权重大，十位放尽量小且非零的 2,4，个位放 0,6。
最小和 20+46=66（或 26+40=66）。
答案：66
练习 3
某 3×3 数阵每行和都为 18。第三行是 7,4,z，求 z。
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7+4+z=18，z=7。
答案：7
练习 4
三个连续偶数的和为 54，求这三个数。
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中间数 54÷3=18，故三个数为 16,18,20。
答案：16,18,20