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第二十二章 曲面积分

曲面积分是将积分从平面提升至空间曲面的关键跃迁。本章将对标《数学分析》Ch 22，深入探讨高斯公式与斯托克斯公式，并揭示它们在“广义斯托克斯公式”框架下的内在统一性。

一、 第一类曲面积分：对面积的积分​

1. 定义与性质​

设 f(x,y,z)f(x, y, z) 为定义在光滑曲面 Σ\Sigma 上的连续函数。其对面积的积分为：

∬Σf(x,y,z)dS=lim⁡∥ΔSi∥→0∑i=1nf(Pi)ΔSi\iint_\Sigma f(x, y, z) dS = \lim_{\|\Delta S_i\| \to 0} \sum_{i=1}^n f(P_i) \Delta S_i

  • 物理意义：面密度之于总质量。
  • 计算公式：若 Σ:z=z(x,y)\Sigma: z = z(x, y) 在 xyxy 平面投影为 DD，则：

∬ΣfdS=∬Df(x,y,z(x,y))1+zx2+zy2dA\iint_\Sigma f dS = \iint_D f(x, y, z(x,y)) \sqrt{1+z_x^2+z_y^2} dA

二、 第二类曲面积分：通量 (Flux)​

1. 物理背景：流量​

设流速场 v(P)=(P,Q,R)\mathbf{v}(P) = (P, Q, R)。单位时间内穿过有向曲面 Σ\Sigma 的流体体积即为通量：

Φ=∬Σv⋅dS=∬Σ(Pdydz+Qdzdx+Rdxdy)\Phi = \iint_\Sigma \mathbf{v} \cdot d\mathbf{S} = \iint_\Sigma (P dydz + Q dzdx + R dxdy)

  • 法向量方向：积分值取决于曲面的“侧”（由单位法向量 n\mathbf{n} 决定）。∬Σv⋅dS=∬Σ(v⋅n)dS\iint_\Sigma \mathbf{v} \cdot d\mathbf{S} = \iint_\Sigma (\mathbf{v} \cdot \mathbf{n}) dS。

三、 高斯公式与散度 (Divergence)​

高斯公式建立了体积分与面积分之间的纽带，是电磁学和流体力学的基础。

1. 高斯公式 (Gauss's Theorem)​

∭Ω(∇⋅F)dV=∯∂ΩF⋅dS\iiint_\Omega (\nabla \cdot \mathbf{F}) dV = \oiint_{\partial \Omega} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S}

2. 散度的物理意义​

散度 div F=∂P∂x+∂Q∂y+∂R∂z\text{div } \mathbf{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} 描述了场在某点处的源强。

  • div F>0\text{div } \mathbf{F} > 0：该点有“正源”（流体流出）。
  • div F<0\text{div } \mathbf{F} < 0：该点有“汇”（流体吸入）。
  • 高斯公式直观理解：整个区域内的净流量产生（总散度）等于穿过边界的总通量。

四、 斯托克斯公式与旋度 (Curl)​

斯托克斯公式是格林公式在三维空间的推广，它联系了面积分与线积分。

1. 斯托克斯公式 (Stokes's Theorem)​

∬Σ(∇×F)⋅dS=∮∂ΣF⋅dr\iint_\Sigma (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot d\mathbf{S} = \oint_{\partial \Sigma} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}

2. 旋度的物理意义​

旋度 curl F=∇×F\text{curl } \mathbf{F} = \nabla \times \mathbf{F} 描述了向量场在某点附近的微观旋转。

  • 其方向为旋转轴方向，大小为单位面积的最大环量。
  • 斯托克斯公式直观理解：曲面上所有微小面元的旋转之和，抵消后仅剩下边界线上的宏观环量。

五、 广义 Stokes 公式：大一统的数学之美​

在现代数学（微分形式）语言中，上述所有公式（牛顿-莱布尼茨、格林、高斯、斯托克斯）均可统一为：

∫Ωdω=∫∂Ωω\int_\Omega d\omega = \int_{\partial \Omega} \omega

这揭示了微积分的一个根本真理：在某个区域上的某种微分运算的积累，完全取决于该区域边界上的值。

六、 综合例题：通量与环量 (Textbook Level)​

例题 1：利用高斯公式计算复杂通量​

计算通量 ∯Σx2dydz+y2dzdx+z2dxdy\oiint_\Sigma x^2 dydz + y^2 dzdx + z^2 dxdy，其中 Σ\Sigma 是立方体 0≤x,y,z≤a0 \le x,y,z \le a 的整个外侧。

解析过程
  1. 计算散度：div F=∂(x2)∂x+∂(y2)∂y+∂(z2)∂z=2x+2y+2z\text{div } \mathbf{F} = \frac{\partial (x^2)}{\partial x} + \frac{\partial (y^2)}{\partial y} + \frac{\partial (z^2)}{\partial z} = 2x + 2y + 2z。
  2. 应用高斯公式： I=∭Ω2(x+y+z)dVI = \iiint_\Omega 2(x+y+z) dV。
  3. 分项积分：由于对称性，∭Ω2xdV=2∫0axdx∫0ady∫0adz=2⋅a22⋅a⋅a=a4\iiint_\Omega 2x dV = 2 \int_0^a x dx \int_0^a dy \int_0^a dz = 2 \cdot \frac{a^2}{2} \cdot a \cdot a = a^4。
  4. 求和：I=a4+a4+a4=3a4I = a^4 + a^4 + a^4 = 3a^4。

答案：3a43a^4

例题 2：阿基米德浮力定律的数学证明​

证明：浸在液体中的物体所受的浮力等于它排开液体的重量。

解析过程
  1. 物理建模：设液体压力场为 P=(0,0,−ρgz)\mathbf{P} = (0, 0, -\rho g z)（向下的压力随深度增加）。
  2. 浮力计算：浮力 Fb\mathbf{F}_b 是压力在物体表面 Σ\Sigma 上的积分（内侧为正，外侧为负，此处取外侧向内为正方向）。 Fb=∯Σp(−n)dS=∯Σ(0,0,ρgz)⋅ndS\mathbf{F}_b = \oiint_\Sigma p (-\mathbf{n}) dS = \oiint_\Sigma (0, 0, \rho g z) \cdot \mathbf{n} dS。
  3. 应用高斯公式： Fb=∭Ωdiv(0,0,ρgz)dV=∭ΩρgdV=ρgV\mathbf{F}_b = \iiint_\Omega \text{div}(0, 0, \rho g z) dV = \iiint_\Omega \rho g dV = \rho g V。
  4. 结论：浮力方向向上，大小等于排开液体的重力 ρgV\rho g V。

答案：得证。

例题 3：斯托克斯公式计算空间环量​

计算 ∮Γy2dx+z2dy+x2dz\oint_\Gamma y^2 dx + z^2 dy + x^2 dz，其中 Γ\Gamma 是圆周 x2+y2=a2,z=0x^2+y^2=a^2, z=0（逆时针）。

解析过程
  1. 计算旋度： curl F=∣ijk∂x∂y∂zy2z2x2∣=(−2z,−2x,−2y)\text{curl } \mathbf{F} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \partial_x & \partial_y & \partial_z \\ y^2 & z^2 & x^2 \end{vmatrix} = (-2z, -2x, -2y)。
  2. 选择曲面：取圆盘 Σ:x2+y2≤a2,z=0\Sigma: x^2+y^2 \le a^2, z=0。
  3. 法向量：根据右手螺旋定则，n=(0,0,1)\mathbf{n} = (0, 0, 1)。
  4. 应用斯托克斯公式： ∮Γ=∬Σ(−2z,−2x,−2y)⋅(0,0,1)dS=∬Σ−2ydS\oint_\Gamma = \iint_\Sigma (-2z, -2x, -2y) \cdot (0, 0, 1) dS = \iint_\Sigma -2y dS。
  5. 计算积分：由于圆盘 Σ\Sigma 关于 xx 轴对称，且函数 −2y-2y 是奇函数，故积分为 0。

答案：0

例题 4：带奇点的高斯公式（高斯定律）​

设 E=Q4πϵ0r3r\mathbf{E} = \frac{Q}{4\pi \epsilon_0 r^3} \mathbf{r} 为点电荷电场场强。证明：穿过包围电荷的任意闭曲面 Σ\Sigma 的通量均为 Qϵ0\frac{Q}{\epsilon_0}。

解析过程
  1. 计算散度：在 r≠0r \neq 0 时，div E=0\text{div } \mathbf{E} = 0。
  2. 处理奇点：在原点周围取一极小球面 SδS_\delta。
  3. 应用高斯公式：对于 Σ\Sigma 与 SδS_\delta 围成的区域，∯Σ+∯Sδin=∭0=0\oiint_\Sigma + \oiint_{S_\delta^{in}} = \iiint 0 = 0。
  4. 计算球面积分：在 SδS_\delta 上，E⋅n=Q4πϵ0δ2\mathbf{E} \cdot \mathbf{n} = \frac{Q}{4\pi \epsilon_0 \delta^2}，面积为 4πδ24\pi \delta^2。 通量 Φ=Q4πϵ0δ2⋅4πδ2=Qϵ0\Phi = \frac{Q}{4\pi \epsilon_0 \delta^2} \cdot 4\pi \delta^2 = \frac{Q}{\epsilon_0}。

答案：Qϵ0\frac{Q}{\epsilon_0}

例题 5：高斯公式在特殊通量计算中的应用​

计算通量 ∯Σxdydz+ydzdx+zdxdy(x2+y2+z2)3/2\oiint_\Sigma \frac{x dy dz + y dz dx + z dx dy}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}，其中 Σ\Sigma 为包围原点的任意闭曲面。

解析过程
  1. 散度计算： ∇⋅F=∂∂x(xr3)+∂∂y(yr3)+∂∂z(zr3)\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial}{\partial x}(\frac{x}{r^3}) + \frac{\partial}{\partial y}(\frac{y}{r^3}) + \frac{\partial}{\partial z}(\frac{z}{r^3})。 ∂∂x(xr3)=r3−x⋅3r2⋅xrr6=r2−3x2r5\frac{\partial}{\partial x}(\frac{x}{r^3}) = \frac{r^3 - x \cdot 3r^2 \cdot \frac{x}{r}}{r^6} = \frac{r^2 - 3x^2}{r^5}。 div F=3r2−3(x2+y2+z2)r5=0\text{div } \mathbf{F} = \frac{3r^2 - 3(x^2+y^2+z^2)}{r^5} = 0（当 r≠0r \neq 0 时）。
  2. 处理奇点： 由于原点处散度未定义，取一以原点为心，半径为 ϵ\epsilon 的球面 SϵS_\epsilon。
  3. 应用高斯公式： 由散度为 0，通量 ΦΣ=ΦSϵ\Phi_\Sigma = \Phi_{S_\epsilon}。
  4. 计算球面积分： 在 SϵS_\epsilon 上，F=rϵ3\mathbf{F} = \frac{\mathbf{r}}{\epsilon^3}，单位法向量 n=rϵ\mathbf{n} = \frac{\mathbf{r}}{\epsilon}。 F⋅n=r⋅rϵ4=ϵ2ϵ4=1ϵ2\mathbf{F} \cdot \mathbf{n} = \frac{\mathbf{r} \cdot \mathbf{r}}{\epsilon^4} = \frac{\epsilon^2}{\epsilon^4} = \frac{1}{\epsilon^2}。 Φ=∬Sϵ1ϵ2dS=1ϵ2⋅4πϵ2=4π\Phi = \iint_{S_\epsilon} \frac{1}{\epsilon^2} dS = \frac{1}{\epsilon^2} \cdot 4\pi \epsilon^2 = 4\pi。

答案：4π4\pi

七、 章内专题练习 (In-Chapter Exercises)​

:::tip 练习说明 曲面积分的关键在于选择合适的公式（高斯/斯托克斯）以及正确判断法向量的方向。 :::

练习 1：第一类曲面积分计算​

计算 ∬ΣzdS\iint_\Sigma z dS，其中 Σ\Sigma 为球面 x2+y2+z2=a2x^2+y^2+z^2=a^2 在 z≥0z \ge 0 的部分。

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解析：

  1. 参数化：z=a2−x2−y2z = \sqrt{a^2-x^2-y^2}。
  2. 面积元：dS=1+zx2+zy2dxdy=aa2−x2−y2dxdy=azdxdydS = \sqrt{1+z_x^2+z_y^2} dx dy = \frac{a}{\sqrt{a^2-x^2-y^2}} dx dy = \frac{a}{z} dx dy。
  3. 积分计算： ∬ΣzdS=∬x2+y2≤a2z⋅azdxdy=a∬x2+y2≤a2dxdy=a⋅πa2=πa3\iint_\Sigma z dS = \iint_{x^2+y^2 \le a^2} z \cdot \frac{a}{z} dx dy = a \iint_{x^2+y^2 \le a^2} dx dy = a \cdot \pi a^2 = \pi a^3。

练习 2：高斯公式求通量​

计算 ∯Σxdydz+ydzdx+zdxdy\oiint_\Sigma x dydz + y dzdx + z dxdy，其中 Σ\Sigma 为球面 x2+y2+z2=a2x^2+y^2+z^2=a^2 的外侧。

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解析：

  1. 散度：div F=1+1+1=3\text{div } \mathbf{F} = 1 + 1 + 1 = 3。
  2. 高斯公式： ∯ΣF⋅dS=∭Ω3dV=3⋅Vol(Ω)\oiint_\Sigma \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = \iiint_\Omega 3 dV = 3 \cdot \text{Vol}(\Omega)。
  3. 体积：Vol(Ω)=43πa3\text{Vol}(\Omega) = \frac{4}{3}\pi a^3。
  4. 结果：3⋅43πa3=4πa33 \cdot \frac{4}{3}\pi a^3 = 4\pi a^3。

练习 3：斯托克斯公式应用​

计算 ∮Γydx+zdy+xdz\oint_\Gamma y dx + z dy + x dz，其中 Γ\Gamma 为 x+y=2,x2+y2+z2=4x+y=2, x^2+y^2+z^2=4 的交线。

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解析：

  1. 旋度：curl F=(−1,−1,−1)\text{curl } \mathbf{F} = (-1, -1, -1)。
  2. 选择曲面：取交线所围成的平面部分 Σ:x+y=2\Sigma: x+y=2 在球面内的部分。
  3. 法向量：平面 x+y=2x+y=2 的法向量为 n=(1,1,0)/2\mathbf{n} = (1, 1, 0) / \sqrt{2}。
  4. 积分计算： ∮Γ=∬Σcurl F⋅ndS=∬Σ(−1,−1,−1)⋅12(1,1,0)dS=∬Σ−22dS=−2Area(Σ)\oint_\Gamma = \iint_\Sigma \text{curl } \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} dS = \iint_\Sigma (-1, -1, -1) \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}(1, 1, 0) dS = \iint_\Sigma -\frac{2}{\sqrt{2}} dS = -\sqrt{2} \text{Area}(\Sigma)。 （进一步计算需确定交线围成的面积，由于平面过球心，面积为 π⋅22\pi \cdot 2^2？）不，平面 x+y=2x+y=2 到原点距离为 2\sqrt{2}，半径 R=2R=2，故截面圆半径 r=22−(2)2=2r = \sqrt{2^2 - (\sqrt{2})^2} = \sqrt{2}。 面积为 π(2)2=2π\pi (\sqrt{2})^2 = 2\pi。
  5. 结果：−2⋅2π=−22π-\sqrt{2} \cdot 2\pi = -2\sqrt{2}\pi。

练习 4：通量直接法（投影法）​

计算 ∬Σxdydz\iint_\Sigma x dy dz，其中 Σ\Sigma 为 x2+y2+z2=a2,x≥0x^2+y^2+z^2=a^2, x \ge 0 的右侧（向外）。

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解析：

  1. 投影区域：在 yzyz 平面上的投影为 y2+z2≤a2y^2+z^2 \le a^2。
  2. 函数代换：x=a2−y2−z2x = \sqrt{a^2-y^2-z^2}。
  3. 方向：向外侧意味着 dydzdydz 前取正号。
  4. 积分计算： ∬y2+z2≤a2a2−y2−z2dydz\iint_{y^2+z^2 \le a^2} \sqrt{a^2-y^2-z^2} dy dz 使用极坐标：∫02πdϕ∫0aa2−ρ2ρdρ\int_0^{2\pi} d\phi \int_0^a \sqrt{a^2-\rho^2} \rho d\rho =2π[−13(a2−ρ2)3/2]0a=2π⋅13a3=23πa3= 2\pi [ -\frac{1}{3}(a^2-\rho^2)^{3/2} ]_0^a = 2\pi \cdot \frac{1}{3} a^3 = \frac{2}{3}\pi a^3。

练习库同步 (Analysis Exercise Sync)

编者注：如果说格林公式是平面的诗篇，那么高斯和斯托克斯公式就是空间的交响乐。它们将宇宙中原本散乱的向量场，归结为简单的源（散度）与涡（旋度）。