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第十六章 多元函数的极限与连续

在研究一元函数时，我们是在实数轴 R\mathbb{R} 上进行的。多元微积分的研究对象是 nn 维欧几里得空间 Rn\mathbb{R}^n 中的点集与函数。本章将把极限与连续的概念推广到高维空间，其核心挑战在于方向的无穷性。

一、 欧几里得空间与拓扑基础​

1. 欧几里得空间 Rn\mathbb{R}^n​

nn 维欧几里得空间是所有 nn 元有序实数组 x=(x1,x2,…,xn)\mathbf{x} = (x_1, x_2, \dots, x_n) 的集合。

  • 内积与范数：⟨x,y⟩=∑xiyi\langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle = \sum x_i y_i，∥x∥=⟨x,x⟩\|\mathbf{x}\| = \sqrt{\langle \mathbf{x}, \mathbf{x} \rangle}。
  • 距离 (Distance)：d(x,y)=∥x−y∥=∑i=1n(xi−yi)2d(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = \|\mathbf{x} - \mathbf{y}\| = \sqrt{\sum_{i=1}^n (x_i - y_i)^2}。
  • 邻域 (Neighborhood)：点 x0\mathbf{x}_0 的 δ\delta 邻域为 U(x0,δ)={x∈Rn∣d(x,x0)<δ}U(\mathbf{x}_0, \delta) = \{ \mathbf{x} \in \mathbb{R}^n \mid d(\mathbf{x}, \mathbf{x}_0) < \delta \}。

2. 点集的分类​

  • 内点 (Interior Point)：存在邻域 U(x0)⊂EU(\mathbf{x}_0) \subset E。
  • 界点 (Boundary Point)：任一邻域既含有 EE 的点，也含有 EcE^c 的点。
  • 聚点 (Accumulation Point)：任一去心邻域 U˚(x0)\mathring{U}(\mathbf{x}_0) 内含有 EE 的无穷多个点。
  • 开集与闭集：全部由内点组成的集合为开集；包含所有聚点的集合为闭集。

二、 多元函数的极限 (Limits)​

1. 重极限 (Double Limit) 的严谨定义​

设 f(x)f(\mathbf{x}) 在点 x0\mathbf{x}_0 的某去心邻域 U˚(x0)\mathring{U}(\mathbf{x}_0) 内有定义（x0\mathbf{x}_0 为定义域的聚点）。

ϵ−δ\epsilon-\delta 定义： 若对于任意给定的 ϵ>0\epsilon > 0，总存在 δ>0\delta > 0，使得当 0<d(x,x0)<δ0 < d(\mathbf{x}, \mathbf{x}_0) < \delta 且 x∈Df\mathbf{x} \in D_f 时，恒有：

∣f(x)−L∣<ϵ|f(\mathbf{x}) - L| < \epsilon

则称 LL 为 f(x)f(\mathbf{x}) 当 x→x0\mathbf{x} \to \mathbf{x}_0 时的重极限，记作 lim⁡x→x0f(x)=L\lim_{\mathbf{x} \to \mathbf{x}_0} f(\mathbf{x}) = L。

深度理解：一元极限 lim⁡x→x0\lim_{x \to x_0} 只有两个方向（左、右）；而在 Rn\mathbb{R}^n 中，点 x\mathbf{x} 可以沿着无数条曲线趋于 x0\mathbf{x}_0。重极限存在的条件极其苛刻：必须要求无论以何种方式、从何种方向趋近，函数值都趋于同一个常数 LL。

2. 累次极限 (Iterated Limits)​

以二元函数 f(x,y)f(x, y) 为例，若先对 yy 取极限，再对 xx 取极限，称为累次极限：

L12=lim⁡x→x0(lim⁡y→y0f(x,y)),L21=lim⁡y→y0(lim⁡x→x0f(x,y))L_{12} = \lim_{x \to x_0} \left( \lim_{y \to y_0} f(x, y) \right), \quad L_{21} = \lim_{y \to y_0} \left( \lim_{x \to x_0} f(x, y) \right)

重极限与累次极限的关系 (重要定理)​

定理：若重极限 lim⁡(x,y)→(x0,y0)f(x,y)=L\lim_{(x, y) \to (x_0, y_0)} f(x, y) = L 存在，且对每个固定的 xx，单变量极限 lim⁡y→y0f(x,y)\lim_{y \to y_0} f(x, y) 存在，则累次极限 L12L_{12} 必存在且 L12=LL_{12} = L。

推论：

  1. 若两个累次极限均存在且不相等，则重极限必不存在。
  2. 若重极限存在，且两个累次极限也都存在，则三者必相等。
  3. 警示：累次极限相等 ⇏\not\Rightarrow 重极限存在；重极限存在 ⇏\not\Rightarrow 累次极限存在（可能内层极限不存在）。

三、 多元函数的连续性 (Continuity)​

1. 连续性的定义​

若 lim⁡x→x0f(x)=f(x0)\lim_{\mathbf{x} \to \mathbf{x}_0} f(\mathbf{x}) = f(\mathbf{x}_0)，则称 ff 在点 x0\mathbf{x}_0 处连续。

2. 有界闭区域上连续函数的性质及证明​

(1) 有界性定理​

定理：若 f(x)f(\mathbf{x}) 在有界闭区域 D⊂RnD \subset \mathbb{R}^n 上连续，则 f(x)f(\mathbf{x}) 在 DD 上有界。

证明（反证法 + Bolzano-Weierstrass 定理）： 假设 ff 在 DD 上无界，则对每个 k∈Nk \in \mathbb{N}，存在 xk∈D\mathbf{x}_k \in D 使得 ∣f(xk)∣>k|f(\mathbf{x}_k)| > k。 由于 DD 是有界集，点列 {xk}\{\mathbf{x}_k\} 有界。由 B-W 定理（高维版），存在收敛子列 {xkj}→x∗\{\mathbf{x}_{k_j}\} \to \mathbf{x}^*。 因为 DD 是闭集，故 x∗∈D\mathbf{x}^* \in D。 由于 ff 在 x∗\mathbf{x}^* 连续，应有 lim⁡j→∞f(xkj)=f(x∗)\lim_{j \to \infty} f(\mathbf{x}_{k_j}) = f(\mathbf{x}^*)，这与 ∣f(xkj)∣>kj→∞|f(\mathbf{x}_{k_j})| > k_j \to \infty 矛盾。故原命题成立。

(2) 介值定理​

定理：若 f(x)f(\mathbf{x}) 在连通集 DD 上连续，且 f(A)=a,f(B)=bf(\mathbf{A}) = a, f(\mathbf{B}) = b。对任意介于 a,ba, b 之间的数 μ\mu，必存在 C∈D\mathbf{C} \in D 使得 f(C)=μf(\mathbf{C}) = \mu。

证明思路： 利用连通性的性质。在连通集 DD 中，存在连接 A,B\mathbf{A}, \mathbf{B} 的连续曲线 r(t)\mathbf{r}(t)（t∈[0,1]t \in [0, 1]）。 构造复合函数 g(t)=f(r(t))g(t) = f(\mathbf{r}(t))。由于 ff 和 r\mathbf{r} 均连续，g(t)g(t) 是一元连续函数。 由一元连续函数的介值定理，g(0)=a,g(1)=bg(0)=a, g(1)=b，必存在 t0∈[0,1]t_0 \in [0, 1] 使得 g(t0)=μg(t_0) = \mu。 取 C=r(t0)∈D\mathbf{C} = \mathbf{r}(t_0) \in D，即得 f(C)=μf(\mathbf{C}) = \mu。

四、 深度辨析例题 (5 道)​

辨析 1：路径依赖的陷阱
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  1. 沿直线 y=kxy = kx：

lim⁡x→0x(kx)2x2+(kx)4=lim⁡x→0k2x3x2+k4x4=lim⁡x→0k2x1+k4x2=0\lim_{x \to 0} \frac{x(kx)^2}{x^2 + (kx)^4} = \lim_{x \to 0} \frac{k^2x^3}{x^2 + k^4x^4} = \lim_{x \to 0} \frac{k^2x}{1 + k^4x^2} = 0

所有直线路径极限均为 0。2. 沿抛物线 x=y2x = y^2：

lim⁡y→0y2⋅y2(y2)2+y4=lim⁡y→0y42y4=12\lim_{y \to 0} \frac{y^2 \cdot y^2}{(y^2)^2 + y^4} = \lim_{y \to 0} \frac{y^4}{2y^4} = \frac{1}{2}

  1. 结论：虽然所有直线路径结果一致，但特殊曲线路径结果不同，故重极限不存在。注意：y=kxy=kx 齐次判定法不总是足够的。
辨析 2：累次极限相等但重极限不存在
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  1. 累次极限：
    • lim⁡x→0(lim⁡y→0xyx2+y2)=lim⁡x→0(0)=0\lim_{x \to 0} (\lim_{y \to 0} \frac{xy}{x^2 + y^2}) = \lim_{x \to 0} (0) = 0
    • lim⁡y→0(lim⁡x→0xyx2+y2)=lim⁡y→0(0)=0\lim_{y \to 0} (\lim_{x \to 0} \frac{xy}{x^2 + y^2}) = \lim_{y \to 0} (0) = 0 两个累次极限存在且相等。
  2. 重极限： 沿 y=xy = x 趋近：lim⁡x→0x2x2+x2=12≠0\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{x^2 + x^2} = \frac{1}{2} \neq 0。
  3. 结论：累次极限相等是重极限存在的必要不充分条件。
辨析 3：重极限存在但累次极限不存在
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  1. 重极限： 由于 ∣sin⁡1xsin⁡1y∣≤1|\sin\frac{1}{x}\sin\frac{1}{y}| \le 1，由夹逼准则： 0≤∣(x+y)sin⁡1xsin⁡1y∣≤∣x+y∣0 \le |(x+y)\sin\frac{1}{x}\sin\frac{1}{y}| \le |x+y| 当 (x,y)→(0,0)(x, y) \to (0, 0) 时，∣x+y∣→0|x+y| \to 0，故重极限为 0。
  2. 累次极限： 内层极限 lim⁡y→0f(x,y)\lim_{y \to 0} f(x, y) 不存在（因为 sin⁡1y\sin\frac{1}{y} 在 0 附近剧烈震荡）。
  3. 结论：重极限存在时，累次极限不一定存在。
辨析 4：单独连续 vs 联合连续
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  1. 固定 y=0y=0：f(x,0)=0f(x, 0) = 0，对 xx 连续。
  2. 固定 x=0x=0：f(0,y)=0f(0, y) = 0，对 yy 连续。
  3. 联合连续性：由辨析 2 知，lim⁡(x,y)→(0,0)f(x,y)\lim_{(x, y) \to (0, 0)} f(x, y) 不存在（沿 y=xy=x 为 1/2）。
  4. 结论：在一个点处对每个变量分别连续，不能推导出在该点联合连续。
辨析 5：极坐标法的应用边界
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  1. 令 x=rcos⁡θ,y=rsin⁡θx = r\cos\theta, y = r\sin\theta：

r3cos⁡3θ+r3sin⁡3θr2=r(cos⁡3θ+sin⁡3θ)\frac{r^3\cos^3\theta + r^3\sin^3\theta}{r^2} = r(\cos^3\theta + \sin^3\theta)

  1. 判定： ∣r(cos⁡3θ+sin⁡3θ)∣≤r(∣cos⁡3θ∣+∣sin⁡3θ∣)≤2r|r(\cos^3\theta + \sin^3\theta)| \le r(|\cos^3\theta| + |\sin^3\theta|) \le 2r。 由于 2r→02r \to 0（当 r→0r \to 0 时），且该估计与 θ\theta 无关（一致趋于 0）。
  2. 结论：极限存在且为 0。注意：必须证明极限过程与 θ\theta 无关方可使用极坐标。

五、 章内专题练习 (In-Chapter Exercises)​

:::tip 练习说明 以下练习旨在巩固多元极限与连续的核心概念。建议先独立思考，再点击展开查看详细解析。 :::

练习 1：利用夹逼准则求极限​

求 lim⁡(x,y)→(0,0)x2y2x2+y2\lim_{(x, y) \to (0, 0)} \frac{x^2 y^2}{x^2 + y^2}。

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解析： 观察被积函数的形式。由于 x2≤x2+y2x^2 \le x^2 + y^2，故有 0≤x2x2+y2≤10 \le \frac{x^2}{x^2 + y^2} \le 1。 因此： 0≤∣x2y2x2+y2∣=∣x2x2+y2∣⋅y2≤y20 \le \left| \frac{x^2 y^2}{x^2 + y^2} \right| = \left| \frac{x^2}{x^2 + y^2} \right| \cdot y^2 \le y^2 当 (x,y)→(0,0)(x, y) \to (0, 0) 时，y2→0y^2 \to 0。 由夹逼准则（Squeeze Theorem），原极限为 0。

练习 2：累次极限与重极限的辨析​

设 f(x,y)=x2−y2x2+y2f(x, y) = \frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}，求其在 (0,0)(0,0) 处的累次极限与重极限。

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解析：

  1. 累次极限：
    • lim⁡x→0(lim⁡y→0x2−y2x2+y2)=lim⁡x→0x2x2=1\lim_{x \to 0} (\lim_{y \to 0} \frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}) = \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{x^2} = 1。
    • lim⁡y→0(lim⁡x→0x2−y2x2+y2)=lim⁡y→0−y2y2=−1\lim_{y \to 0} (\lim_{x \to 0} \frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}) = \lim_{y \to 0} \frac{-y^2}{y^2} = -1。
  2. 重极限： 由于两个累次极限存在且不相等（1≠−11 \neq -1），由重极限与累次极限的关系定理，重极限必不存在。

练习 3：极坐标在极限证明中的应用​

证明 lim⁡(x,y)→(0,0)(x2+y2)ln⁡(x2+y2)=0\lim_{(x, y) \to (0, 0)} (x^2 + y^2) \ln(x^2 + y^2) = 0。

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解析： 令 x=rcos⁡θ,y=rsin⁡θx = r \cos \theta, y = r \sin \theta，则 x2+y2=r2x^2 + y^2 = r^2。 当 (x,y)→(0,0)(x, y) \to (0, 0) 时，r→0+r \to 0^+。 原极限转化为一元极限： lim⁡r→0+r2ln⁡(r2)=2lim⁡r→0+r2ln⁡r\lim_{r \to 0^+} r^2 \ln(r^2) = 2 \lim_{r \to 0^+} r^2 \ln r 利用洛必达法则： lim⁡r→0+ln⁡r1/r2=lim⁡r→0+1/r−2/r3=lim⁡r→0+−r22=0\lim_{r \to 0^+} \frac{\ln r}{1/r^2} = \lim_{r \to 0^+} \frac{1/r}{-2/r^3} = \lim_{r \to 0^+} -\frac{r^2}{2} = 0 由于极限结果与 θ\theta 无关，故原重极限为 0。

练习 4：二元函数的连续性判定​

讨论函数 f(x,y)={sin⁡(xy)xx≠0yx=0f(x, y) = \begin{cases} \frac{\sin(xy)}{x} & x \neq 0 \\ y & x = 0 \end{cases} 在 (0,y0)(0, y_0) 点的连续性。

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解析： 要判定在 (0,y0)(0, y_0) 点的连续性，需计算重极限 lim⁡(x,y)→(0,y0)f(x,y)\lim_{(x, y) \to (0, y_0)} f(x, y) 并与 f(0,y0)=y0f(0, y_0) = y_0 比较。 当 x≠0x \neq 0 时： lim⁡(x,y)→(0,y0)sin⁡(xy)x=lim⁡(x,y)→(0,y0)sin⁡(xy)xy⋅y\lim_{(x, y) \to (0, y_0)} \frac{\sin(xy)}{x} = \lim_{(x, y) \to (0, y_0)} \frac{\sin(xy)}{xy} \cdot y 由于 lim⁡u→0sin⁡uu=1\lim_{u \to 0} \frac{\sin u}{u} = 1 且 lim⁡(x,y)→(0,y0)y=y0\lim_{(x, y) \to (0, y_0)} y = y_0，故： lim⁡(x,y)→(0,y0)f(x,y)=1⋅y0=y0\lim_{(x, y) \to (0, y_0)} f(x, y) = 1 \cdot y_0 = y_0 因为极限值等于函数值 f(0,y0)f(0, y_0)，故函数在 (0,y0)(0, y_0) 点连续。

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编者注：掌握多元极限的关键在于跳出一元思维的束缚。要时刻警惕“沿直线极限相等”这一假象，多尝试非线性路径或极坐标估计。