第二十一章 曲线积分

曲线积分是微积分学从区间走向空间的里程碑。它不仅是定积分的直接推广，更是描述力场做功、流体环量等物理现象的核心数学工具。本章将对标《数学分析》Ch 21，构建从定义、计算到格林公式的完整理论链条。

一、 第一类曲线积分：对弧长的积分

1. 定义与几何直观

设 $L$ 为空间段光滑曲线，其长度为 $s$。若 $f(P)$ 是定义在 $L$ 上的连续函数，则其对弧长的曲线积分为：

$\int_L f(P) ds = \lim_{\|\Delta s_i\| \to 0} \sum_{i=1}^n f(P_i) \Delta s_i$

• 几何意义：若 $f(P) \equiv 1$，则积分等于曲线 $L$ 的长度。
• 物理意义：若 $f(P)$ 为线密度，则积分为物体的总质量。
• 独立性：第一类曲线积分与曲线的方向无关（其元素 $ds$ 始终为正）。

2. 计算法则

若 $L$ 由参数方程 $\mathbf{r}(t) = (x(t), y(t), z(t))$ ($a \le t \le b$) 给出：

$\int_L f(x, y, z) ds = \int_a^b f(x(t), y(t), z(t)) \sqrt{x'^2(t) + y'^2(t) + z'^2(t)} dt$

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二、 第二类曲线积分：对坐标的积分

1. 物理背景：变力做功

设向量场 $\mathbf{F}(P) = (P, Q, R)$ 作用于沿有向曲线 $L$ 运动的质点。则 $\mathbf{F}$ 在微小位移 $d\mathbf{r} = (dx, dy, dz)$ 上做的功为 $dW = \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}$。总功即为：

$W = \int_L \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \int_L P dx + Q dy + R dz$

2. 性质与计算

• 方向性：第二类曲线积分依赖于 $L$ 的方向。若 $\Gamma^-$ 为 $\Gamma^+$ 的反向曲线，则 $\int_{\Gamma^-} = -\int_{\Gamma^+}$。
• 计算公式：代入参数方程，将所有坐标及其微分化为参数 $t$ 的函数：

$\int_L \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \int_a^b [P(x(t), \dots)x'(t) + Q(x(t), \dots)y'(t) + R(x(t), \dots)z'(t)] dt$

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三、 格林公式与平面环量密度

格林公式是平面微积分的灵魂，它揭示了“局部旋转”与“边界环流”之间的等价性。

1. 格林公式 (Green's Theorem)

设 $D$ 是平面闭区域，其边界 $L$ 是正向分段光滑闭曲线。若 $P, Q$ 在 $D$ 上具有一阶连续偏导数，则：

$\oint_L P dx + Q dy = \iint_D \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) dA$

2. 物理内涵：环量密度

在流体力学中，$\oint_L \mathbf{V} \cdot d\mathbf{r}$ 称为流速场沿 $L$ 的环量 (Circulation)。

• 表达式 $(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y})$ 代表了场在点 $(x, y)$ 处的旋转强度（即旋度的 $z$ 分量）。
• 格林公式直观理解：区域内所有微小单元产生的“旋转”在内部相互抵消，最终只剩下边界上的“宏观环流”。

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四、 综合例题：环量与做功 (Textbook Level)

例题 1：星形线的环量计算

计算向量场 $\mathbf{F} = (-y, x)$ 沿星形线 $L: x = a \cos^3 t, y = a \sin^3 t$ ($0 \le t \le 2\pi$) 的环量。

解析过程

方法一：直接法

1. $dx = -3a \cos^2 t \sin t dt, dy = 3a \sin^2 t \cos t dt$。
2. $\oint_L -y dx + x dy = \int_0^{2\pi} [-a \sin^3 t (-3a \cos^2 t \sin t) + a \cos^3 t (3a \sin^2 t \cos t)] dt$
3. $= 3a^2 \int_0^{2\pi} (\sin^4 t \cos^2 t + \cos^4 t \sin^2 t) dt = 3a^2 \int_0^{2\pi} \sin^2 t \cos^2 t dt$
4. $= \frac{3a^2}{4} \int_0^{2\pi} \sin^2 2t dt = \frac{3\pi a^2}{4}$。

方法二：格林公式

1. $\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 1 - (-1) = 2$。
2. $\oint_L \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \iint_D 2 dA = 2 \text{Area}(D)$。
3. 星形线面积 $A = \frac{3}{8}\pi a^2$，故结果为 $2 \cdot \frac{3}{8}\pi a^2 = \frac{3\pi a^2}{4}$。

答案：$\frac{3}{4}\pi a^2$

例题 2：非单连通区域的路径无关性

设 $\mathbf{F} = \left( \frac{-y}{x^2+y^2}, \frac{x}{x^2+y^2} \right)$。证明其在除原点外的区域满足 $\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial P}{\partial y}$，并计算沿包围原点的任意正向闭曲线 $L$ 的环量。

解析过程

1. 验证偏导：经计算，在 $(x,y) \neq (0,0)$ 时，$\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2} = \frac{\partial P}{\partial y}$。
2. 处理奇点：由于原点是奇点，格林公式不能直接应用于包围原点的区域。取一个极小圆 $C_\epsilon: x^2+y^2 = \epsilon^2$。
3. 由广义格林公式：$\oint_L = \oint_{C_\epsilon}$。
4. 计算小圆积分：令 $x = \epsilon \cos t, y = \epsilon \sin t$。 $\oint_{C_\epsilon} \frac{-y dx + x dy}{x^2+y^2} = \int_0^{2\pi} \frac{\epsilon^2(\sin^2 t + \cos^2 t)}{\epsilon^2} dt = 2\pi$。

答案：$2\pi$（此为复变积分中留数定理的雏形）。

例题 3：变力沿空间曲线做功

计算变力 $\mathbf{F} = (y-z, z-x, x-y)$ 沿圆柱螺旋线 $\Gamma: x=a \cos t, y=a \sin t, z=bt$ ($0 \le t \le 2\pi$) 做的功。

解析过程

1. $dx = -a \sin t dt, dy = a \cos t dt, dz = b dt$。
2. 代入积分：$W = \int_0^{2\pi} [(a \sin t - bt)(-a \sin t) + (bt - a \cos t)(a \cos t) + (a \cos t - a \sin t)b] dt$
3. 展开化简：$-a^2 \sin^2 t + abt \sin t + abt \cos t - a^2 \cos^2 t + ab \cos t - ab \sin t$。
4. 积分各项：
   • $\int_0^{2\pi} -a^2 dt = -2\pi a^2$。
   • $\int_0^{2\pi} abt \sin t dt = [-abt \cos t]_0^{2\pi} + \int ab \cos t dt = -2\pi ab$。
   • $\int_0^{2\pi} abt \cos t dt = [abt \sin t]_0^{2\pi} - \int ab \sin t dt = 0$。
   • 常系数三角函数积分为 0。
5. 总功 $W = -2\pi a^2 - 2\pi ab = -2\pi a(a+b)$。

答案：$-2\pi a(a+b)$

例题 4：保守场与势函数

已知 $\mathbf{F} = (2xy+z^2, x^2+2yz, y^2+2xz)$，证明该场为保守场，并求从 $A(0,0,0)$ 到 $B(1,1,1)$ 的线积分。

解析过程

1. 验证旋度：计算 $\text{curl } \mathbf{F} = (2y-2y, 2z-2z, 2x-2x) = (0,0,0)$。故 $\mathbf{F}$ 是保守场。
2. 求势函数 $u$：
   • $\frac{\partial u}{\partial x} = 2xy+z^2 \implies u = x^2y + xz^2 + \phi(y, z)$。
   • $\frac{\partial u}{\partial y} = x^2 + \frac{\partial \phi}{\partial y} = x^2 + 2yz \implies \phi = y^2z + \psi(z)$。
   • $\frac{\partial u}{\partial z} = 2xz + y^2 + \psi'(z) = y^2 + 2xz \implies \psi'(z) = 0$。
   • 取 $u = x^2y + y^2z + z^2x$。
3. 计算积分：$\int_A^B \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = u(1,1,1) - u(0,0,0) = 1+1+1 = 3$。

答案：3

例题 5：格林公式在面积计算中的应用

利用曲线积分计算由摆线一拱 $x = a(t - \sin t), y = a(1 - \cos t)$ ($0 \le t \le 2\pi$) 与 $x$ 轴所围图形的面积。

解析过程

1. 面积公式：$A = \oint_L x dy = \iint_D 1 dA$。
2. 分解边界：
   • 摆线弧 $C_1$：$t$ 从 0 到 $2\pi$。
   • $x$ 轴段 $C_2$：从 $x=2\pi a$ 回到 $x=0$。在 $C_2$ 上 $y=0 \implies dy=0$。
3. 计算 $C_1$ 积分： $dx = a(1 - \cos t) dt, dy = a \sin t dt$。 $A = \int_{C_1} x dy = \int_0^{2\pi} a(t - \sin t) (a \sin t) dt$ $= a^2 \int_0^{2\pi} (t \sin t - \sin^2 t) dt$
4. 分项计算：
   • $\int_0^{2\pi} t \sin t dt = [-t \cos t]_0^{2\pi} + \int_0^{2\pi} \cos t dt = -2\pi$。
   • $\int_0^{2\pi} \sin^2 t dt = \pi$。 注意闭曲线方向：摆线弧从左向右，连同 $x$ 轴形成顺时针方向。格林公式要求正向（逆时针）。 $A = - \oint_{C_1+C_2} = -(-2\pi a^2 - \pi a^2) = 3\pi a^2$。

答案：$3\pi a^2$

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五、 章内专题练习 (In-Chapter Exercises)

:::tip 练习说明 曲线积分的解题核心在于参数化曲线以及选择合适的积分类型（路径无关性判别）。 :::

练习 1：第一类曲线积分计算

计算 $\int_L (x+y) ds$，其中 $L$ 为连接 $(0,0)$ 与 $(1,1)$ 的直线段。

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解析：

1. 参数化：$x=t, y=t, t \in [0, 1]$。
2. 弧长元素：$ds = \sqrt{x'^2+y'^2} dt = \sqrt{1^2+1^2} dt = \sqrt{2} dt$。
3. 积分计算： $\int_0^1 (t+t) \sqrt{2} dt = 2\sqrt{2} \int_0^1 t dt = 2\sqrt{2} \cdot \frac{1}{2} = \sqrt{2}$。

练习 2：格林公式直接应用

计算 $\oint_L (x+y) dx + (y-x) dy$，其中 $L$ 为圆 $x^2+y^2=a^2$。

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解析：

1. 计算偏导：$P=x+y, Q=y-x$。 $\frac{\partial Q}{\partial x} = -1, \frac{\partial P}{\partial y} = 1$。
2. 应用格林公式： $\iint_D (-1 - 1) dA = -2 \iint_D dA = -2 \pi a^2$。

练习 3：路径无关性判定

验证 $\int_{(0,0)}^{(1,1)} (3x^2+y) dx + (x+2y) dy$ 是否与路径无关，并求值。

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解析：

1. 验证：$P=3x^2+y, Q=x+2y \implies \frac{\partial P}{\partial y} = 1, \frac{\partial Q}{\partial x} = 1$。 偏导相等且定义域 $\mathbb{R}^2$ 单连通，故与路径无关。
2. 求势函数： $u = \int P dx = x^3 + xy + \phi(y)$ $u_y = x + \phi'(y) = x+2y \implies \phi(y) = y^2$ $u(x, y) = x^3 + xy + y^2$。
3. 计算：$u(1,1) - u(0,0) = 1+1+1 - 0 = 3$。

练习 4：利用格林公式计算椭圆面积

已知椭圆 $L: x = a \cos t, y = b \sin t$，求其面积。

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解析：

1. 公式：$A = \frac{1}{2} \oint_L x dy - y dx$。
2. 代入参数： $x = a \cos t, dx = -a \sin t dt$ $y = b \sin t, dy = b \cos t dt$ $x dy - y dx = (a \cos t)(b \cos t) - (b \sin t)(-a \sin t) = ab(\cos^2 t + \sin^2 t) = ab$。
3. 积分： $A = \frac{1}{2} \int_0^{2\pi} ab dt = \frac{1}{2} \cdot 2\pi ab = \pi ab$。

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Ex 21.1格林公式 (Green's Theorem)

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编者注：格林公式本质上是二维空间下的微积分基本定理。它告诉我们，内部的“旋涡”总量完全可以通过观察边界上的“流动”来确定。