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第十七章 多元函数微分学

多元函数微分学的核心思想是局部线性化。我们将一元微积分中的导数和微分概念推广到高维空间，研究函数在各个方向上的变化率以及最优线性逼近。

一、 偏导数与全微分​

1. 偏导数 (Partial Derivatives)​

设 z=f(x,y)z = f(x, y) 在点 (x0,y0)(x_0, y_0) 的邻域内有定义。固定 y=y0y = y_0，定义：

fx(x0,y0)=lim⁡Δx→0f(x0+Δx,y0)−f(x0,y0)Δxf_x(x_0, y_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x, y_0) - f(x_0, y_0)}{\Delta x}

这是函数沿坐标轴方向的变化率。

2. 全微分 (Total Differential)​

定义：若函数增量可表示为 Δz=AΔx+BΔy+o(ρ)\Delta z = A \Delta x + B \Delta y + o(\rho)，其中 ρ=(Δx)2+(Δy)2\rho = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}，则称函数在点 (x,y)(x, y) 可微。

全微分存在性判定“四步走”​

判定一个多元函数在某点 (x0,y0)(x_0, y_0) 是否可微，通常遵循以下严谨步骤：

  1. 连续性检验（必要条件）：若函数在该点不连续，则必不可微。
  2. 求偏导数：利用定义求出 fx(x0,y0)f_x(x_0, y_0) 和 fy(x0,y0)f_y(x_0, y_0)。若偏导数不存在，则必不可微。
  3. 构造线性增量：写出全增量 Δz=f(x0+Δx,y0+Δy)−f(x0,y0)\Delta z = f(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y) - f(x_0, y_0)。
  4. 极限判定（充分必要条件）：计算以下极限：

lim⁡(Δx,Δy)→(0,0)Δz−[fx(x0,y0)Δx+fy(x0,y0)Δy](Δx)2+(Δy)2\lim_{(\Delta x, \Delta y) \to (0, 0)} \frac{\Delta z - [f_x(x_0, y_0)\Delta x + f_y(x_0, y_0)\Delta y]}{\sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}}

若极限为 00，则可微；否则不可微。

关键定理回顾：

  • 必要条件：可微 ⇒\Rightarrow 连续 且 偏导数存在。
  • 充分条件：偏导数在点 (x,y)(x, y) 连续 ⇒\Rightarrow 函数在该点可微。
  • 注意：偏导数存在并不意味着函数连续，更不意味着可微。

深度例题 1：全微分存在性的严格判定​

判定 f(x,y)=∣xy∣f(x, y) = \sqrt{|xy|} 在 (0,0)(0, 0) 处的可微性。

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  1. 连续性：显然 lim⁡(x,y)→(0,0)∣xy∣=0=f(0,0)\lim_{(x, y) \to (0, 0)} \sqrt{|xy|} = 0 = f(0, 0)，函数连续。
  2. 偏导数： fx(0,0)=lim⁡x→0∣x⋅0∣−0x=0f_x(0, 0) = \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{|x \cdot 0|} - 0}{x} = 0 fy(0,0)=lim⁡y→0∣0⋅y∣−0y=0f_y(0, 0) = \lim_{y \to 0} \frac{\sqrt{|0 \cdot y|} - 0}{y} = 0
  3. 极限判定： lim⁡(Δx,Δy)→(0,0)Δz−[0⋅Δx+0⋅Δy]Δx2+Δy2=lim⁡ρ→0∣ρcos⁡θρsin⁡θ∣ρ=lim⁡ρ→0∣cos⁡θsin⁡θ∣\lim_{(\Delta x, \Delta y) \to (0, 0)} \frac{\Delta z - [0 \cdot \Delta x + 0 \cdot \Delta y]}{\sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2}} = \lim_{\rho \to 0} \frac{\sqrt{|\rho \cos \theta \rho \sin \theta|}}{\rho} = \lim_{\rho \to 0} \sqrt{|\cos \theta \sin \theta|} 由于极限结果与 θ\theta 有关（当 θ=π/4\theta = \pi/4 时为 1/2≠01/\sqrt{2} \neq 0），故在该点不可微。

深度例题 2：多元复合函数的高阶偏导​

设 z=f(x+y,xy)z = f(x+y, xy)，其中 ff 具有二阶连续偏导数，求 ∂2z∂x∂y\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}。

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令 u=x+y,v=xyu = x+y, v = xy。

  1. 一阶偏导： ∂z∂x=fu⋅1+fv⋅y=fu+yfv\frac{\partial z}{\partial x} = f_u \cdot 1 + f_v \cdot y = f_u + yf_v
  2. 二阶偏导（对 yy 求导）： ∂2z∂y∂x=∂∂y(fu+yfv)=∂fu∂y+fv+y∂fv∂y\frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x} = \frac{\partial}{\partial y}(f_u + yf_v) = \frac{\partial f_u}{\partial y} + f_v + y \frac{\partial f_v}{\partial y} 其中： ∂fu∂y=fuu⋅1+fuv⋅x\frac{\partial f_u}{\partial y} = f_{uu} \cdot 1 + f_{uv} \cdot x ∂fv∂y=fvu⋅1+fvv⋅x\frac{\partial f_v}{\partial y} = f_{vu} \cdot 1 + f_{vv} \cdot x
  3. 代入并化简（利用 fuv=fvuf_{uv} = f_{vu}）： ∂2z∂y∂x=fuu+xfuv+fv+y(fuv+xfvv)=fuu+(x+y)fuv+xyfvv+fv\frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x} = f_{uu} + x f_{uv} + f_v + y (f_{uv} + x f_{vv}) = f_{uu} + (x+y)f_{uv} + xy f_{vv} + f_v

深度例题 3：利用 Taylor 展开求极值​

利用二阶 Taylor 展开，分析函数 f(x,y)f(x, y) 在驻点附近的行为。

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在驻点 (x0,y0)(x_0, y_0) 处，fx=fy=0f_x = f_y = 0。Taylor 展开为：

f(x0+h,y0+k)−f(x0,y0)≈12(Ah2+2Bhk+Ck2)f(x_0+h, y_0+k) - f(x_0, y_0) \approx \frac{1}{2} (Ah^2 + 2Bhk + Ck^2)

其中 A=fxx,B=fxy,C=fyyA=f_{xx}, B=f_{xy}, C=f_{yy}。 右侧是一个二次型。其性质（正定、负定、不定）直接决定了该驻点是极小值点、极大值点还是鞍点。这正是 Hessian 矩阵判别法的理论来源。

深度例题 4：方向导数的最值性质​

已知函数 f(x,y)=x2+2y2f(x, y) = x^2 + 2y^2，求在点 (1,1)(1, 1) 处沿什么方向的方向导数最大，并求出该最大值。

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  1. 计算梯度： ∇f=(2x,4y)\nabla f = (2x, 4y)。在点 (1,1)(1, 1) 处，∇f(1,1)=(2,4)\nabla f(1, 1) = (2, 4)。
  2. 判定最大方向： 方向导数在梯度方向 l=∇f∥∇f∥\mathbf{l} = \frac{\nabla f}{\|\nabla f\|} 处取得最大值。 方向为 (2,4)(2, 4) 或单位化后的 (15,25)(\frac{1}{\sqrt{5}}, \frac{2}{\sqrt{5}})。
  3. 计算最大值： 最大值即为梯度的模长： ∥∇f∥=22+42=20=25\|\nabla f\| = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}。

深度例题 5：隐函数的全微分计算​

设由方程 x2+y2+z2−3xyz=0x^2 + y^2 + z^2 - 3xyz = 0 确定的隐函数为 z=z(x,y)z = z(x, y)，求 dzdz。

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令 F(x,y,z)=x2+y2+z2−3xyzF(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2 - 3xyz。

  1. 计算偏导： Fx=2x−3yz,Fy=2y−3xz,Fz=2z−3xyF_x = 2x - 3yz, F_y = 2y - 3xz, F_z = 2z - 3xy。
  2. 求隐函数偏导： ∂z∂x=−FxFz=−2x−3yz2z−3xy\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{F_x}{F_z} = -\frac{2x - 3yz}{2z - 3xy} ∂z∂y=−FyFz=−2y−3xz2z−3xy\frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{F_y}{F_z} = -\frac{2y - 3xz}{2z - 3xy}
  3. 写出全微分： dz=∂z∂xdx+∂z∂ydy=(3yz−2x)dx+(3xz−2y)dy2z−3xydz = \frac{\partial z}{\partial x} dx + \frac{\partial z}{\partial y} dy = \frac{(3yz - 2x) dx + (3xz - 2y) dy}{2z - 3xy}。

六、 章内专题练习 (In-Chapter Exercises)​

:::tip 练习说明 以下练习覆盖了多元微分的核心计算与判定技巧。 :::

练习 1：全微分定义的应用​

证明 f(x,y)=x2+y2f(x, y) = x^2 + y^2 在原点 (0,0)(0, 0) 可微。

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解析：

  1. f(0,0)=0,fx(0,0)=0,fy(0,0)=0f(0, 0) = 0, f_x(0, 0) = 0, f_y(0, 0) = 0。
  2. 构造极限： lim⁡(Δx,Δy)→(0,0)f(Δx,Δy)−f(0,0)−(0⋅Δx+0⋅Δy)Δx2+Δy2\lim_{(\Delta x, \Delta y) \to (0, 0)} \frac{f(\Delta x, \Delta y) - f(0, 0) - (0 \cdot \Delta x + 0 \cdot \Delta y)}{\sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2}} =lim⁡ρ→0ρ2ρ=lim⁡ρ→0ρ=0= \lim_{\rho \to 0} \frac{\rho^2}{\rho} = \lim_{\rho \to 0} \rho = 0
  3. 结论：极限为 0，符合全微分定义，故在该点可微。

练习 2：链式法则的高阶应用​

设 z=f(x2−y2)z = f(x^2 - y^2)，ff 可导，求 y∂z∂x+x∂z∂yy \frac{\partial z}{\partial x} + x \frac{\partial z}{\partial y}。

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解析：

  1. ∂z∂x=f′(x2−y2)⋅(2x)\frac{\partial z}{\partial x} = f'(x^2 - y^2) \cdot (2x)。
  2. ∂z∂y=f′(x2−y2)⋅(−2y)\frac{\partial z}{\partial y} = f'(x^2 - y^2) \cdot (-2y)。
  3. 代入： y(2xf′)+x(−2yf′)=2xyf′−2xyf′=0y(2x f') + x(-2y f') = 2xy f' - 2xy f' = 0。 结论：该表达式的值恒为 0。

练习 3：切平面方程计算​

求曲面 z=x2+y2z = x^2 + y^2 在点 (1,2,5)(1, 2, 5) 处的切平面方程。

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解析：

  1. 偏导数：zx=2x,zy=2yz_x = 2x, z_y = 2y。
  2. 在点 (1,2)(1, 2) 处：zx=2,zy=4z_x = 2, z_y = 4。
  3. 切平面方程：z−z0=fx(x−x0)+fy(y−y0)z - z_0 = f_x(x-x_0) + f_y(y-y_0)。 z−5=2(x−1)+4(y−2)z - 5 = 2(x - 1) + 4(y - 2) 2x+4y−z−5=02x + 4y - z - 5 = 0。

练习 4：拉格朗日乘数法基础​

求函数 f(x,y)=xyf(x, y) = xy 在约束条件 x+y=2x + y = 2 下的极值。

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解析：

  1. 构造拉格朗日函数：L(x,y,λ)=xy+λ(x+y−2)L(x, y, \lambda) = xy + \lambda(x + y - 2)。
  2. 求偏导方程组：
    • Lx=y+λ=0  ⟹  y=−λL_x = y + \lambda = 0 \implies y = -\lambda
    • Ly=x+λ=0  ⟹  x=−λL_y = x + \lambda = 0 \implies x = -\lambda
    • Lλ=x+y−2=0L_\lambda = x + y - 2 = 0
  3. 解得 x=1,y=1,λ=−1x=1, y=1, \lambda=-1。
  4. 判定：由于区域是紧致的，且这是唯一的驻点，比较边界易知 f(1,1)=1f(1, 1) = 1 为最大值。

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编者注：Taylor 公式是将复杂函数局部“多项式化”的强力武器，它是数值计算与最优化理论的基石。