拓扑空间基础 (Topological Spaces)

拓扑空间是研究“连续性”最一般的框架。在这里，我们不再依赖“距离”，而是直接将“开集”作为基本概念。

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1. 拓扑空间的公理定义

定义 1.1 (拓扑)

设 $X$ 是一个非空集合。$X$ 的一个子集族 $\mathcal{T}$ 称为 $X$ 上的一个拓扑 (Topology)，如果它满足以下三个公理：

1. 空集与全集：$\emptyset \in \mathcal{T}$ 且 $X \in \mathcal{T}$；
2. 任意并：$\mathcal{T}$ 中任意多个成员的并集仍属于 $\mathcal{T}$；
3. 有限交：$\mathcal{T}$ 中有限个成员的交集仍属于 $\mathcal{T}$。

二元组 $(X, \mathcal{T})$ 称为拓扑空间。$\mathcal{T}$ 中的元素称为该空间的开集。

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2. 邻域、内部与闭包

定义 2.1 (邻域)

若存在开集 $U \in \mathcal{T}$ 使得 $x \in U \subset V$，则称 $V$ 为点 $x$ 的一个邻域。

定义 2.2 (核心点集概念)

设 $A \subset X$：

• 内点 (Interior Point)：若存在 $x$ 的邻域 $V \subset A$，则 $x$ 是 $A$ 的内点。
• 极限点 (Limit Point)：若 $x$ 的任意邻域都包含 $A \setminus \{x\}$ 中的点，则 $x$ 是 $A$ 的极限点。
• 闭包 (Closure)：$A$ 及其所有极限点的并集称为 $A$ 的闭包，记作 $\overline{A}$。

等价定义

$A$ 是闭集 $\iff A = \overline{A} \iff A^c \in \mathcal{T}$。

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3. 拓扑的基 (Basis)

在实际应用中，直接列出所有开集非常困难。我们通常通过一个较小的子族来生成整个拓扑。

定义 3.1 (基)

设 $(X, \mathcal{T})$ 为拓扑空间。子族 $\mathcal{B} \subset \mathcal{T}$ 称为 $\mathcal{T}$ 的一个基 (Basis)，如果每一个开集 $U \in \mathcal{T}$ 都可以表示为 $\mathcal{B}$ 中某些元素的并。

度量空间的基

对于度量空间 $(X, d)$，所有开球 $\mathcal{B} = \{ B(x, \epsilon) \mid x \in X, \epsilon > 0 \}$ 构成了其自然拓扑的基。

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4. 常见的拓扑构造

• 离散拓扑 (Discrete Topology)：$\mathcal{T} = \mathcal{P}(X)$（幂集）。每一个点都是开的。
• 平凡拓扑 (Trivial Topology)：$\mathcal{T} = \{ \emptyset, X \}$。
• 有限补拓扑 (Cofinite Topology)：$\mathcal{T} = \{ U \subset X \mid X \setminus U \text{ 是有限集} \} \cup \{ \emptyset \}$。

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✍️ 深度练习

练习 1：验证有限补拓扑

证明：若 $X$ 是无限集，则上述定义的“有限补族”确实构成 $X$ 上的一个拓扑。

Check Solution

证明：

1. 空集与全集：$\emptyset$ 在族中；$X$ 的补集是空集（有限），故 $X$ 在族中。
2. 任意并：设 $\{U_\alpha\}$ 是族中元素。若其中一个 $U_{\alpha_0} = \emptyset$，不影响并集。 考虑 $X \setminus (\cup U_\alpha) = \cap (X \setminus U_\alpha)$。 由于每一个 $X \setminus U_\alpha$ 都是有限的，它们的交集必然有限。 故 $\cup U_\alpha$ 是开集。
3. 有限交：$X \setminus (\cap_{i=1}^n U_i) = \cup_{i=1}^n (X \setminus U_i)$。 有限个有限集的并集仍是有限集。 故 $\cap_{i=1}^n U_i$ 是开集。 $\square$

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练习 2：证明：$x \in \overline{A} \iff x$ 的每个邻域都与 $A$ 相交

这是一个非常实用的闭包判定定理。

Check Solution

证明：

1. ($\implies$)：若 $x \in A$，结论显然成立。若 $x$ 是 $A$ 的极限点，由定义，其每个邻域包含 $A \setminus \{x\}$ 中的点，自然与 $A$ 相交。
2. ($\impliedby$)：假设 $x \notin \overline{A}$。 因为 $\overline{A}$ 是闭集，其补集 $U = X \setminus \overline{A}$ 是开集。 显然 $x \in U$。但 $U \cap A = \emptyset$（因为 $A \subset \overline{A}$）。 这与“$x$ 的每个邻域都与 $A$ 相交”矛盾。 故必有 $x \in \overline{A}$。 $\square$