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同伦初步 (Basic Homotopy)

拓扑学经常被描述为“橡皮泥几何”。同伦 (Homotopy) 正是刻画这种“连续形变”的严密数学工具。如果一个空间或一个映射可以被平滑地变成另一个，我们就说它们在拓扑上是“等价”的。

1. 映射同伦与同伦等价​

定义 1.1 (映射同伦)​

设 f,g:X→Yf, g: X \to Y 是连续映射。若存在连续映射 H:X×[0,1]→YH: X \times [0, 1] \to Y 使得：

  • H(x,0)=f(x)H(x, 0) = f(x)
  • H(x,1)=g(x)H(x, 1) = g(x) 则称 ff 与 gg 同伦，记作 f≃gf \simeq g。

定义 1.2 (同伦等价)​

若存在 f:X→Yf: X \to Y 和 g:Y→Xg: Y \to X 使得 g∘f≃idXg \circ f \simeq \text{id}_X 且 f∘g≃idYf \circ g \simeq \text{id}_Y，则称 XX 与 YY 同伦等价。

直观：同伦等价允许伸缩和形变。例如，亏格为 1 的实心圆环与圆周 S1S^1 是同伦等价的。

2. 基本群 (The Fundamental Group)​

基本群是研究空间中“孔洞”结构的核心代数工具。

路径同伦​

设 γ0,γ1:[0,1]→X\gamma_0, \gamma_1: [0, 1] \to X 是两条具有相同端点的路径。若存在形变过程保持端点不动，则称它们路径同伦。

群结构定义​

对于带基点的空间 (X,x0)(X, x_0)，其基本群 π1(X,x0)\pi_1(X, x_0) 定义为所有以 x0x_0 为起止点的回路的路径同伦类集合。

  • 乘法（复合）：[γ]⋅[η]=[γ∗η][\gamma] \cdot [\eta] = [\gamma * \eta]（先走第一条路，再走第二条）。
  • 单位元：常值回路 cx0c_{x_0}。
  • 逆元：反向路径 γˉ(s)=γ(1−s)\bar{\gamma}(s) = \gamma(1-s)。

经典结论​

  1. S1S^1 的基本群：π1(S1)≅Z\pi_1(S^1) \cong \mathbb{Z}。

    这意味着回路绕圆周的“圈数”是唯一的同伦不变量。

  2. 单连通空间：若 XX 道路连通且 π1(X,x0)={e}\pi_1(X, x_0) = \{e\}，则称 XX 是单连通的。

    例子：Rn\mathbb{R}^n、n≥2n \ge 2 的球面 SnS^n 都是单连通的。

3. 函子性与应用​

诱导同态 (Induced Homomorphism)​

每一个连续映射 f:(X,x0)→(Y,y0)f: (X, x_0) \to (Y, y_0) 都会诱导一个群同态： f∗:π1(X,x0)→π1(Y,y0),[γ]↦[f∘γ]f_*: \pi_1(X, x_0) \to \pi_1(Y, y_0), \quad [\gamma] \mapsto [f \circ \gamma]

性质：若 ff 是同胚（或同伦等价），则 f∗f_* 是群同构。

应用：Brouwer 不动点定理​

定理：任何连续映射 f:D2→D2f: D^2 \to D^2（闭圆盘到自身）必有不动点。

证明思想 (反证法)：若没有不动点，则可以构造一个从 D2D^2 到其边界 S1S^1 的收缩映射 rr。这会导致诱导同态 r∗:π1(D2)→π1(S1)r_*: \pi_1(D^2) \to \pi_1(S^1)。但 π1(D2)=0\pi_1(D^2)=0 而 π1(S1)=Z\pi_1(S^1)=\mathbb{Z}，非零同态不存在，矛盾！

✍️ 深度练习与例题​

例题 1：证明 π1(X×Y,(x0,y0))≅π1(X,x0)×π1(Y,y0)\pi_1(X \times Y, (x_0, y_0)) \cong \pi_1(X, x_0) \times \pi_1(Y, y_0)​

Check Solution

证明：

  1. 定义映射 Φ:[γ]↦([pX∘γ],[pY∘γ])\Phi: [\gamma] \mapsto ([p_X \circ \gamma], [p_Y \circ \gamma])，其中 pX,pYp_X, p_Y 是投影映射。
  2. 由于投影映射是连续的，Φ\Phi 是良定义的群同态。
  3. 满射性：给定 [α]∈π1(X)[\alpha] \in \pi_1(X) 和 [β]∈π1(Y)[\beta] \in \pi_1(Y)，定义 γ(t)=(α(t),β(t))\gamma(t) = (\alpha(t), \beta(t)) 即可。
  4. 单射性：若 pX∘γp_X \circ \gamma 和 pY∘γp_Y \circ \gamma 分别在 XX 和 YY 中可收缩，则利用分量同伦即可构造 γ\gamma 在积空间中的同伦。
  5. 结论：积空间的基本群等于基本群的直积。 □\square

例题 2：证明“穿孔平面” R2∖{0}\mathbb{R}^2 \setminus \{0\} 同伦等价于圆周 S1S^1​

Check Solution

证明：

  1. 定义包含映射 i:S1↪R2∖{0}i: S^1 \hookrightarrow \mathbb{R}^2 \setminus \{0\}。
  2. 定义径向投影 r:R2∖{0}→S1,r(x)=x/∥x∥r: \mathbb{R}^2 \setminus \{0\} \to S^1, \quad r(x) = x/\|x\|。
  3. 显然 r∘i=idS1r \circ i = \text{id}_{S^1}。
  4. 考虑 i∘r(x)=x/∥x∥i \circ r(x) = x/\|x\|。构造同伦 H(x,t)=(1−t)x+tx∥x∥H(x, t) = (1-t)x + t \frac{x}{\|x\|}。
  5. 由于 x≠0x \neq 0，线段 (1−t)x+tx∥x∥(1-t)x + t \frac{x}{\|x\|} 永远不会经过原点，故 HH 在 R2∖{0}\mathbb{R}^2 \setminus \{0\} 中连续。
  6. HH 实现了 id\text{id} 到 i∘ri \circ r 的形变，故二者同伦等价。 □\square

练习 1：基本群的独立性​

证明：对于道路连通空间 XX，不同基点 x0,x1x_0, x_1 对应的基本群 π1(X,x0)\pi_1(X, x_0) 与 π1(X,x1)\pi_1(X, x_1) 是同构的。

Check Solution

解析：

  1. 取连接 x0x_0 与 x1x_1 的路径 α\alpha。
  2. 定义映射 β([γ])=[α−1∗γ∗α]\beta([\gamma]) = [\alpha^{-1} * \gamma * \alpha]。
  3. 可以验证这是一个群同构。 注：虽然同构，但这个同构依赖于路径 α\alpha 的选择。

练习 2：判定连通性​

若一个空间 XX 是单连通的，它一定是道路连通的吗？

Check Solution

答案：根据定义，是的。 基本群通常只在道路连通的空间中讨论，或者指代包含基点的那个道路连通分支。如果一个空间不连通，我们通常说它的各个道路连通分支是单连通的。