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度量空间 (Metric Spaces)

度量空间是点集拓扑学的直观起点。在数学分析中，我们已经习惯了 ∣x−y∣|x-y| 作为距离。通过抽象化“距离”概念，我们可以统一研究 Rn\mathbb{R}^n、函数空间以及离散集合。

1. 核心定义​

定义 1.1 (度量)​

设 XX 是一个非空集合。若存在函数 d:X×X→Rd: X \times X \to \mathbb{R}，满足以下四条公理，则称 dd 是 XX 上的一个度量 (Metric)：

  1. 非负性：d(x,y)≥0d(x, y) \geq 0；
  2. 正定性：d(x,y)=0  ⟺  x=yd(x, y) = 0 \iff x = y；
  3. 对称性：d(x,y)=d(y,x)d(x, y) = d(y, x)；
  4. 三角不等式：d(x,z)≤d(x,y)+d(y,z)d(x, z) \leq d(x, y) + d(y, z)。

二元组 (X,d)(X, d) 称为度量空间。

2. 经典度量空间​

欧氏空间 $\mathbb{R}^n$

对于 x=(x1,…,xn),y=(y1,…,yn)∈Rn\mathbf{x} = (x_1, \dots, x_n), \mathbf{y} = (y_1, \dots, y_n) \in \mathbb{R}^n，欧氏度量定义为： d(x,y)=∑i=1n(xi−yi)2d(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = \sqrt{\sum_{i=1}^n (x_i - y_i)^2} 这是我们最熟悉的几何空间。

离散度量 (Discrete Metric)

对于任意非空集合 XX，定义： d(x,y)={0x=y1x≠yd(x, y) = \begin{cases} 0 & x = y \\ 1 & x \neq y \end{cases} 在离散度量下，每一个单点集 {x}\{x\} 都是开集，因此任何子集都是开集。这提供了许多拓扑反例。

函数空间 $C[a, b]$

对于区间 [a,b][a, b] 上的所有连续函数 f,gf, g，定义一致度量 (Uniform Metric)： d(f,g)=max⁡x∈[a,b]∣f(x)−g(x)∣d(f, g) = \max_{x \in [a, b]} |f(x) - g(x)| 这是泛函分析的基础。

3. 开集与闭集​

在度量空间中，我们通过“距离”来刻画“附近”。

定义 3.1 (邻域/开球)​

点 x∈Xx \in X 的 rr-邻域定义为： B(x,r)={y∈X∣d(x,y)<r}B(x, r) = \{ y \in X \mid d(x, y) < r \}

定义 3.2 (开集与闭集)​

  • 开集：若集合 U⊂XU \subset X 的每一点都是其内点（即 ∀x∈U,∃ϵ>0,B(x,ϵ)⊂U\forall x \in U, \exists \epsilon > 0, B(x, \epsilon) \subset U），则称 UU 是开集。
  • 闭集：若 UU 的补集 X∖UX \setminus U 是开集，则称 UU 是闭集。

4. 完备性 (Completeness)​

完备性描述了一个空间“没有缝隙”，它是微积分得以建立的根本原因。

定义 4.1 (Cauchy 序列)​

序列 {xn}\{x_n\} 称为 Cauchy 序列，如果 ∀ϵ>0,∃N,∀m,n>N,d(xm,xn)<ϵ\forall \epsilon > 0, \exists N, \forall m, n > N, d(x_m, x_n) < \epsilon。

定义 4.2 (完备空间)​

如果度量空间 XX 中的每一个 Cauchy 序列都收敛于 XX 中的点，则称 XX 是完备度量空间。

✍️ 深度练习​

练习 1：证明离散度量空间中，所有序列的 Cauchy 性质​

在离散度量空间中，什么样的序列是 Cauchy 序列？什么样的序列是收敛的？

Check Solution

解析：

  1. Cauchy 序列判定： 取 ϵ=1/2\epsilon = 1/2。若 {xn}\{x_n\} 是 Cauchy 序列，则 ∃N,∀m,n>N,d(xm,xn)<1/2\exists N, \forall m, n > N, d(x_m, x_n) < 1/2。 由于在离散度量中，dd 只能取 00 或 11，因此 d(xm,xn)<1/2d(x_m, x_n) < 1/2 意味着 d(xm,xn)=0d(x_m, x_n) = 0，即 xm=xnx_m = x_n。 结论：离散空间中的 Cauchy 序列必须是最终常值序列（Eventually Constant）。

  2. 收敛性： 同理，由于 d(xn,p)<1/2  ⟹  xn=pd(x_n, p) < 1/2 \implies x_n = p，收敛序列也必须是最终常值序列。

  3. 结论：离散度量空间总是完备的，因为它所有的 Cauchy 序列都是常值序列，自然收敛。

练习 2：有理数集 Q\mathbb{Q} 的非完备性​

证明 Q\mathbb{Q}（使用标准度量 d(x,y)=∣x−y∣d(x, y) = |x-y|）不是完备的。

Check Solution

证明：

  1. 构造一个有理数序列 {qn}\{q_n\}，使其收敛于一个无理数（如 2\sqrt{2}）。
  2. 例如，利用二分法或 Newton 迭代法构造 qn+1=12(qn+2qn)q_{n+1} = \frac{1}{2}(q_n + \frac{2}{q_n})，初值 q1=1q_1=1。
  3. 在 R\mathbb{R} 中，此序列收敛于 2\sqrt{2}，因此它是 R\mathbb{R} 中的 Cauchy 序列。
  4. 由于度量相同，它也是 Q\mathbb{Q} 中的 Cauchy 序列。
  5. 然而，极限 2∉Q\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}。
  6. 因此，Q\mathbb{Q} 中存在一个不收敛于 Q\mathbb{Q} 中点的 Cauchy 序列，Q\mathbb{Q} 不完备。 □\square