高中数学竞赛 (Senior High Math Competition)

高中数竞是选拔顶尖数学人才的重要途径（如 CMO, IMO）。

四大模块

• 代数 (Algebra)：不等式、函数方程、多项式、递推迭代、三角与复数方法。
• 平面几何 (Geometry)：纯几何推导、塞瓦定理、梅涅劳斯定理。
• 数论 (Number Theory)：同余、不定方程、原根与离散对数。
• 组合 (Combinatorics)：双计数、图论、生成函数。

竞赛秘籍

在处理不等式时，熟练掌握 Cauchy 不等式 和 Jensen 不等式 是提分的关键。

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计算验证：C++ 在竞赛数学中的辅助

在数论或组合竞赛题中，我们可以通过 C++ 暴力搜索小规模数据，从而发现隐藏的规律（如周期性、递推式）。

示例：寻找不定方程 $x^2 + y^2 = z^2$ 的小规模整数解

点击查看 C++ 验证代码

#include <iostream>
#include <vector>

/**
 * @brief 寻找 50 以内的勾股数
 */
int main() {
    std::cout << "x\ty\tz" << std::endl;
    std::cout << "------------" << std::endl;
    for (int x = 1; x <= 50; ++x) {
        for (int y = x; y <= 50; ++y) {
            for (int z = y; z <= 50; ++z) {
                if (x * x + y * y == z * z) {
                    std::cout << x << "\t" << y << "\t" << z << std::endl;
                }
            }
        }
    }
    return 0;
}

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跨领域映射

竞赛模块	计算机科学 (CS) 对应	核心价值
组合数学	算法复杂度分析、容斥原理	解决大规模系统的状态计数问题。
数论	RSA 算法、椭圆曲线加密	现代信息安全的基石（原根、离散对数）。
代数	优化理论、机器学习损失函数	利用不等式（Cauchy, Jensen）界定最优解边界。
图论	网络拓扑、路由协议	解决连接性、最短路与流量分配问题。

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五、本轮新增学习提示（2026-03-08）

• 先做 竞赛代数：经典不等式与函数方程 的基础题，再做挑战题。
• 再做 竞赛代数：多项式与代数方程 的 Vieta 与重根判别题组。
• 再做 竞赛代数：递推、函数迭代与不动点，重点训练“单调有界 + 不动点代入”。
• 新增 竞赛代数：三角与复数方法，重点训练“同角化简 + 模幅角表示”。
• 再做 竞赛数论：原根、剩余与构造 的 CRT 与阶专题。
• 补上 竞赛组合：母函数、图论与递推 的双计数与抽屉原理题组。
• 每学完一章立即到 高中数学竞赛练习库 完成对应专题训练。