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竞赛代数：多项式与代数方程

高中竞赛中的“多项式题”通常不是纯计算，而是围绕根与系数关系、整系数约束、构造分解与函数代换展开。

一、核心知识点讲解​

1. 根与系数（Vieta）与对称表达​

设

P(x)=xn+an−1xn−1+⋯+a0 P(x)=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0

的根为 r1,…,rnr_1,\dots,r_n，则

∑ri=−an−1,∑i<jrirj=an−2, …, ∏ri=(−1)na0. \sum r_i=-a_{n-1},\quad \sum_{i<j}r_ir_j=a_{n-2},\ \dots,\ \prod r_i=(-1)^na_0.

对称式优先转为初等对称多项式，避免直接“猜根”。

2. 因式定理与重根判别​

  • 因式定理：P(α)=0⇔(x−α)∣P(x)P(\alpha)=0 \Leftrightarrow (x-\alpha)\mid P(x)。
  • 重根判别：α\alpha 为重根 ⇔P(α)=0\Leftrightarrow P(\alpha)=0 且 P′(α)=0P'(\alpha)=0。
  • 竞赛中常配合 gcd⁡(P,P′)\gcd(P,P') 判断重根结构。

3. 整系数多项式常用工具​

  • 有理根定理：若 p/qp/q（既约）是整系数多项式根，则 p∣a0, q∣anp\mid a_0,\ q\mid a_n。
  • 模运算筛选：先在模 mm 下判断是否可能有整数根。
  • 代入构造：通过 x↦x±1, 1/x, x+1/xx\mapsto x\pm1,\ 1/x,\ x+1/x 简化结构。

4. 方程与函数图像的联动​

代数方程根的个数常可通过：

  • 单调性与导数判号；
  • 凸凹性与切线估计；
  • 变量替换后转化为标准函数零点问题。
解题策略

先判“结构”：对称、倒数、齐次、递推；再选“工具”：Vieta、因式分解、导数单调、模运算。不要一开始就盲目展开。

二、经典例题实战​

例题 1：Vieta 反向构造​

已知实数 x,yx,y 满足

x+y=5,xy=6, x+y=5,\quad xy=6,

求以 x,yx,y 为根的首一二次多项式。

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设所求为

P(t)=t2−st+p. P(t)=t^2-st+p.

由 Vieta 得 s=x+y=5, p=xy=6s=x+y=5,\ p=xy=6，故

P(t)=t2−5t+6. P(t)=t^2-5t+6.

例题 2：有理根定理筛选​

求方程

x3−4x2+x+6=0 x^3-4x^2+x+6=0

的所有有理根。

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候选有理根为 ±1,±2,±3,±6\pm1,\pm2,\pm3,\pm6。代入得

P(2)=8−16+2+6=0. P(2)=8-16+2+6=0.

故 (x−2)(x-2) 为因子。多项式除法：

x3−4x2+x+6=(x−2)(x2−2x−3)=(x−2)(x−3)(x+1). x^3-4x^2+x+6=(x-2)(x^2-2x-3)=(x-2)(x-3)(x+1).

所以有理根为 2,3,−12,3,-1。

例题 3：重根判别​

求参数 kk，使

P(x)=x3−3x+k P(x)=x^3-3x+k

有重根。

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重根 α\alpha 满足

P(α)=0,P′(α)=0. P(\alpha)=0,\quad P'(\alpha)=0.

先算

P′(x)=3x2−3=3(x2−1), P'(x)=3x^2-3=3(x^2-1),

故 α=±1\alpha=\pm1。代回：

  • α=1\alpha=1：1−3+k=0⇒k=21-3+k=0\Rightarrow k=2；
  • α=−1\alpha=-1：−1+3+k=0⇒k=−2-1+3+k=0\Rightarrow k=-2。

故 k=±2k=\pm2。

例题 4：代换降阶​

解方程

x4−5x2+4=0. x^4-5x^2+4=0.
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设 u=x2u=x^2，得

u2−5u+4=0⇒(u−1)(u−4)=0. u^2-5u+4=0\Rightarrow (u-1)(u-4)=0.

故 u=1u=1 或 u=4u=4，即

x=±1, ±2. x=\pm1,\ \pm2.

例题 5：倒数结构方程​

解方程

x+1x=3,x≠0. x+\frac1x=3,\quad x\ne0.
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两边乘 xx：

x2−3x+1=0. x^2-3x+1=0.

解得

x=3±52. x=\frac{3\pm\sqrt5}{2}.

三、配套练习（章节内）​

练习 1（基础）​

设方程 t2−7t+10=0t^2-7t+10=0 的两根为 α,β\alpha,\beta，求 α+β,αβ\alpha+\beta,\alpha\beta。

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由 Vieta：

α+β=7,αβ=10. \alpha+\beta=7,\quad \alpha\beta=10.

练习 2（提高）​

判断 x3+x+1=0x^3+x+1=0 是否有整数根。

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整数根只能是 ±1\pm1。代入：

P(1)=3≠0,P(−1)=−1≠0. P(1)=3\ne0,\quad P(-1)=-1\ne0.

故无整数根。

练习 3（提高）​

求参数 mm，使 x2−2mx+m2−1=0x^2-2mx+m^2-1=0 有重根。

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判别式

Δ=(2m)2−4(m2−1)=4. \Delta=(2m)^2-4(m^2-1)=4.

恒为 4，不可能为 0，因此不存在使其有重根的 mm。

练习 4（挑战）​

解方程

x2+1x2=7,x≠0. x^2+\frac1{x^2}=7,\quad x\ne0.
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设 y=x+1xy=x+\frac1x，则

y2=x2+2+1x2=9⇒y=±3. y^2=x^2+2+\frac1{x^2}=9\Rightarrow y=\pm3.

分别解

x+1x=3⇒x2−3x+1=0⇒x=3±52, x+\frac1x=3\Rightarrow x^2-3x+1=0\Rightarrow x=\frac{3\pm\sqrt5}{2}, x+1x=−3⇒x2+3x+1=0⇒x=−3±52.x+\frac1x=-3\Rightarrow x^2+3x+1=0\Rightarrow x=\frac{-3\pm\sqrt5}{2}.

共 4 个实根。