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竞赛专题：不等式与函数方程

初中竞赛中的不等式与函数方程，常考查“结构代换 + 单调性 + 构造验证”三件事。

一、核心知识点讲解​

1. 基础不等式与等号条件​

  • 平方非负：(x−y)2≥0(x-y)^2\ge 0，常用于推出 x2+y2≥2xyx^2+y^2\ge 2xy。
  • AM-GM（两数）：对正数 a,ba,b，有 a+b2≥ab\dfrac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}。
  • 倒数型比较：若 0<a≤b0<a\le b，则 1a≥1b\dfrac1a\ge\dfrac1b。
  • 等号条件必须同步检查，避免“只证不等，不证最值可取”。

2. 分式与根式不等式处理​

  • 通分前先判断分母正负，必要时先限定定义域。
  • 根式比较优先平方，但平方前先确认两边非负。
  • 含参数题先做“区间分段”再统一比较。

3. 初中函数方程常见模型​

  • 线性型：f(x+y)=f(x)+f(y)f(x+y)=f(x)+f(y)（在竞赛常附加单调、有界、整数域等条件）。
  • 倍增型：f(2x)f(2x) 与 f(x)f(x) 的关系可先取特殊值。
  • 对称型：f(x)+f(a−x)f(x)+f(a-x) 常配合换元得到常数关系。
  • 迭代型：f(f(x))f(f(x)) 通常先求不动点，再讨论单调与值域。
竞赛习惯

函数方程题先做三步：取特殊值（如 0、1、-x）-> 做对称替换 -> 验证候选解。

二、经典例题实战​

例题 1：基础不等式求最值​

已知 x>0x>0，求 x+4xx+\dfrac{4}{x} 的最小值。

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解析过程​

  1. 由 AM-GM：

x+4x≥2x⋅4x=4.x+\frac{4}{x}\ge 2\sqrt{x\cdot\frac{4}{x}}=4.

  1. 当且仅当 x=4xx=\dfrac{4}{x}，即 x=2x=2 时取等号。

答案​

最小值为 44，在 x=2x=2 时取得。

例题 2：分式不等式​

解不等式：

x−1x+2≥12,x≠−2.\frac{x-1}{x+2}\ge \frac12,\quad x\ne -2.

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解析过程​

  1. 移项：

x−1x+2−12=2x−2−(x+2)2(x+2)=x−42(x+2)≥0.\frac{x-1}{x+2}-\frac12=\frac{2x-2-(x+2)}{2(x+2)}=\frac{x-4}{2(x+2)}\ge0.

  1. 等价于

x−4x+2≥0.\frac{x-4}{x+2}\ge0.

  1. 临界点为 x=−2,4x=-2,4，作符号表得解集

(−∞,−2)∪[4,+∞).(-\infty,-2)\cup[4,+\infty).

答案​

x∈(−∞,−2)∪[4,+∞)x\in(-\infty,-2)\cup[4,+\infty)。

例题 3：函数方程（整数域）​

设 f:Z→Zf:\mathbb Z\to\mathbb Z 满足

f(x+y)=f(x)+f(y),f(1)=3.f(x+y)=f(x)+f(y),\quad f(1)=3.

求 f(n)f(n)（n∈Zn\in\mathbb Z）。

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解析过程​

  1. 先取 y=0y=0：

f(x)=f(x)+f(0)⇒f(0)=0.f(x)=f(x)+f(0)\Rightarrow f(0)=0.

  1. 对正整数 nn，反复相加得

f(n)=nf(1)=3n.f(n)=nf(1)=3n.

  1. 由 0=f(0)=f(n+(−n))=f(n)+f(−n)0=f(0)=f(n+(-n))=f(n)+f(-n)，得

f(−n)=−f(n)=−3n.f(-n)=-f(n)=-3n.

答案​

f(n)=3n(n∈Z).f(n)=3n\quad (n\in\mathbb Z).

例题 4：对称替换法​

设函数 ff 满足

f(x)+f(2−x)=x2−2x+5.f(x)+f(2-x)=x^2-2x+5.

求 f(1)f(1)。

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解析过程​

  1. 取 x=1x=1，有

f(1)+f(1)=1−2+5=4.f(1)+f(1)=1-2+5=4.

  1. 所以

f(1)=2.f(1)=2.

答案​

22。

三、配套练习（点击展开答案）​

练习 1​

若 a,b>0a,b>0 且 a+b=6a+b=6，求 abab 的最大值。

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过程​

由 (a−b)2≥0(a-b)^2\ge0 得

a2+b2≥2ab⇒(a+b)2≥4ab.a^2+b^2\ge2ab\Rightarrow (a+b)^2\ge4ab.

故

ab≤(a+b)24=364=9.ab\le\frac{(a+b)^2}{4}=\frac{36}{4}=9.

当 a=b=3a=b=3 取等。

答案​

最大值是 99。

练习 2​

解不等式：

2x+1x−3<1,x≠3.\frac{2x+1}{x-3}<1,\quad x\ne3.

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过程​

移项得

2x+1−(x−3)x−3=x+4x−3<0.\frac{2x+1-(x-3)}{x-3}=\frac{x+4}{x-3}<0.

临界点为 x=−4,3x=-4,3，分区间判断可得

−4<x<3.-4<x<3.

答案​

x∈(−4,3)x\in(-4,3)。

练习 3​

设 f:Z→Zf:\mathbb Z\to\mathbb Z，满足 f(x+y)=f(x)+f(y)f(x+y)=f(x)+f(y) 且 f(2)=10f(2)=10，求 f(7)f(7)。

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过程​

由可加性，

f(2)=2f(1)=10⇒f(1)=5.f(2)=2f(1)=10\Rightarrow f(1)=5.

于是

f(7)=7f(1)=35.f(7)=7f(1)=35.

答案​

3535。

练习 4​

已知函数满足 f(x)+f(6−x)=x2−6x+20f(x)+f(6-x)=x^2-6x+20，求 f(3)f(3)。

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过程​

令 x=3x=3，得

2f(3)=9−18+20=11.2f(3)=9-18+20=11.

故

f(3)=112.f(3)=\frac{11}{2}.

答案​

112\dfrac{11}{2}。