跳到主要内容

竞赛代数：三角与复数方法

高中竞赛中，三角恒等变形与复数几何化是两条高频主线。核心目标是把复杂表达式变成可控结构：角度和差、模与幅角、单位圆参数化。

一、核心知识点讲解​

1. 三角恒等变形的三层框架​

  • 第一层：和差化积、积化和差、半角与倍角。
  • 第二层：同角化简，尽量将式子统一到 sin⁡x,cos⁡x,tan⁡x\sin x,\cos x,\tan x 之一。
  • 第三层：配合换元（如 t=tan⁡x2t=\tan\frac x2）转为有理式求解。

2. 三角方程竞赛解法路线​

  1. 先定义域筛选。
  2. 再恒等变形到“积=0”或“二次式=0”。
  3. 对每个候选根做回代验根，排除增根。

3. 复数的几何解释​

  • 设 z=x+yiz=x+yi，则 ∣z∣|z| 表示点到原点距离。
  • arg⁡z\arg z 表示向量方向角。
  • 乘法对应“模相乘、角相加”，除法对应“模相除、角相减”。

4. 单位圆参数化与 Moivre 公式​

  • 单位圆点可写成 z=cos⁡θ+isin⁡θz=\cos\theta+i\sin\theta。
  • De Moivre：
(cos⁡θ+isin⁡θ)n=cos⁡(nθ)+isin⁡(nθ). (\cos\theta+i\sin\theta)^n=\cos(n\theta)+i\sin(n\theta).
  • 常用于求高次根、三角恒等式证明与等分圆问题。
竞赛策略

遇到“复数 + 长度/角度”问题，先换成模与幅角；遇到“三角 + 高次幂”问题，优先考虑复指数或 De Moivre。

二、经典例题实战​

例题 1：三角恒等式化简​

化简

sin⁡x+sin⁡3xcos⁡x+cos⁡3x. \frac{\sin x+\sin 3x}{\cos x+\cos 3x}.
点击查看解析与答案

利用和差化积：

sin⁡x+sin⁡3x=2sin⁡2xcos⁡x,cos⁡x+cos⁡3x=2cos⁡2xcos⁡x. \sin x+\sin3x=2\sin2x\cos x,\quad \cos x+\cos3x=2\cos2x\cos x.

故原式

=2sin⁡2xcos⁡x2cos⁡2xcos⁡x=tan⁡2x. =\frac{2\sin2x\cos x}{2\cos2x\cos x}=\tan2x.

例题 2：三角方程求解​

求方程

2sin⁡2x−3sin⁡x+1=0,x∈[0,2π). 2\sin^2x-3\sin x+1=0,\quad x\in[0,2\pi).
点击查看解析与答案

令 s=sin⁡xs=\sin x，得

2s2−3s+1=0⇒(2s−1)(s−1)=0. 2s^2-3s+1=0\Rightarrow (2s-1)(s-1)=0.

故 sin⁡x=1\sin x=1 或 sin⁡x=12\sin x=\frac12。 在 [0,2π)[0,2\pi) 上：

x=π2, π6, 5π6. x=\frac\pi2,\ \frac\pi6,\ \frac{5\pi}6.

例题 3：复数模与角​

设

z=1+i1−i, z=\frac{1+i}{1-i},

求 ∣z∣|z| 与 arg⁡z\arg z（主值）。

点击查看解析与答案

有理化：

z=(1+i)21+1=1+2i+i22=i. z=\frac{(1+i)^2}{1+1}=\frac{1+2i+i^2}{2}=i.

故

∣z∣=1,arg⁡z=π2. |z|=1,\quad \arg z=\frac\pi2.

例题 4：单位圆与三次幂​

设

z=cos⁡θ+isin⁡θ,∣z∣=1. z=\cos\theta+i\sin\theta,\quad |z|=1.

证明

z3+zˉ3=2cos⁡3θ. z^3+\bar z^3=2\cos3\theta.
点击查看解析与答案

由 De Moivre：

z3=cos⁡3θ+isin⁡3θ,zˉ3=cos⁡3θ−isin⁡3θ. z^3=\cos3\theta+i\sin3\theta,\quad \bar z^3=\cos3\theta-i\sin3\theta.

两式相加即得

z3+zˉ3=2cos⁡3θ. z^3+\bar z^3=2\cos3\theta.

例题 5：复数方程与几何​

解方程

z2=1+i3. z^2=1+i\sqrt3.
点击查看解析与答案

写成极形式：

1+i3=2(cos⁡π3+isin⁡π3). 1+i\sqrt3=2\left(\cos\frac\pi3+i\sin\frac\pi3\right).

故

z=2(cos⁡(π6+kπ)+isin⁡(π6+kπ)), k=0,1. z=\sqrt2\left(\cos\left(\frac\pi6+k\pi\right)+i\sin\left(\frac\pi6+k\pi\right)\right),\ k=0,1.

即两根为

z1=2(cos⁡π6+isin⁡π6), z2=2(cos⁡7π6+isin⁡7π6). z_1=\sqrt2\left(\cos\frac\pi6+i\sin\frac\pi6\right),\ z_2=\sqrt2\left(\cos\frac{7\pi}6+i\sin\frac{7\pi}6\right).

三、章节练习（配套）​

练习 1（基础）​

化简

sin⁡2xcos⁡x. \sin2x\cos x.
点击查看过程与答案

由积化和差：

sin⁡2xcos⁡x=12[sin⁡(3x)+sin⁡x]. \sin2x\cos x=\frac12[\sin(3x)+\sin x].

练习 2（提高）​

解方程

cos⁡2x=12,x∈[0,2π). \cos2x=\frac12,\quad x\in[0,2\pi).
点击查看过程与答案

有

2x=π3,5π3,7π3,11π3 2x=\frac\pi3,\frac{5\pi}3,\frac{7\pi}3,\frac{11\pi}3

（限制在 [0,4π)[0,4\pi)），故

x=π6,5π6,7π6,11π6. x=\frac\pi6,\frac{5\pi}6,\frac{7\pi}6,\frac{11\pi}6.

练习 3（提高）​

设 z=1−3 iz=1-\sqrt3\,i，求 ∣z∣|z| 与主辐角。

点击查看过程与答案
∣z∣=1+3=2. |z|=\sqrt{1+3}=2.

点在第四象限，参考角 π3\frac\pi3，故主辐角

arg⁡z=−π3. \arg z=-\frac\pi3.

练习 4（挑战）​

求方程 z4=16z^4=16 的所有复根。

点击查看过程与答案

写为

16=16(cos⁡0+isin⁡0). 16=16(\cos0+i\sin0).

四次根：

zk=2(cos⁡kπ2+isin⁡kπ2), k=0,1,2,3. z_k=2\left(\cos\frac{k\pi}{2}+i\sin\frac{k\pi}{2}\right),\ k=0,1,2,3.

即

2, 2i, −2, −2i. 2,\ 2i,\ -2,\ -2i.