竞赛代数：递推、函数迭代与不动点

高中竞赛中的递推与迭代题，常把“离散数列”和“连续函数”结合：先找不变量，再判单调有界，最后锁定极限或闭式。

一、核心知识点讲解

1. 递推三件套：平移、差分、特征根

• 线性递推优先尝试特征方程法。
• 非齐次项可用平移（设 $b_n=a_n-c$）消常数项。
• 若出现 $a_{n+1}-a_n$，可先做差分看是否望远镜求和。

2. 迭代序列极限的标准框架

设 $x_{n+1}=f(x_n)$，常用流程：

1. 找区间 $I$，证明 $x_n\in I$（不变区间）。
2. 证明单调或压缩：$|f'(x)|\le q<1$。
3. 由有界单调或压缩映射，推出收敛。
4. 设极限 $L$，代入 $L=f(L)$ 求不动点。

3. 不动点稳定性与“吸引域”

• 若 $|f'(L)|<1$，$L$ 多为吸引不动点（局部稳定）。
• 若 $|f'(L)|>1$，$L$ 往往不稳定。
• 竞赛中常通过“迭代不等式”替代严格动力系统语言。

4. 二次迭代的常见技巧

• 对称点代换：如令 $y_n=x_n-\alpha$，把不动点移到 0。
• 分式迭代可尝试倒数变换。
• 含平方根迭代常用“构造界 + 夹逼”。

解题抓手

先判断题目是“求通项”还是“求极限”。求通项优先结构代换；求极限优先单调有界或压缩映射。

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二、经典例题实战

例题 1：一阶线性递推通项

已知

$$a_{n+1}=2a_n+3,\quad a_1=1.$$

求 $a_n$。

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设 $b_n=a_n+3$，则

$$b_{n+1}=a_{n+1}+3=2a_n+6=2b_n.$$

且 $b_1=4$，故

$$b_n=4\cdot2^{n-1}=2^{n+1}.$$

所以

$$a_n=2^{n+1}-3.$$

例题 2：二阶线性递推

已知

$$a_{n+2}=4a_{n+1}-4a_n,\quad a_1=1,\ a_2=2.$$

求 $a_n$。

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特征方程

$$r^2-4r+4=0\Rightarrow (r-2)^2=0.$$

重根情形：

$$a_n=(A+Bn)2^n.$$

代入初值：

$$2(A+B)=1,\quad 4(A+2B)=2.$$

解得 $A=0,\ B=\frac12$，故

$$a_n=n2^{n-1}.$$

例题 3：迭代极限（单调有界）

设 $x_1>0$，

$$x_{n+1}=\frac{x_n+2}{x_n+1}.$$

证明 $\{x_n\}$ 收敛并求极限。

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不动点满足

$$L=\frac{L+2}{L+1}\Rightarrow L^2=2,\ L>0\Rightarrow L=\sqrt2.$$

记

$$f(x)=\frac{x+2}{x+1},\quad f'(x)=-\frac1{(x+1)^2}<0.$$

在 $(0,+\infty)$ 上有 $f(x)>1$，且可验证序列落在 $(1,2)$ 内。 再比较 $x_{n+1}-\sqrt2=\frac{(1-\sqrt2)(x_n-\sqrt2)}{x_n+1}$，得

$$|x_{n+1}-\sqrt2|=\frac{\sqrt2-1}{x_n+1}|x_n-\sqrt2|<(\sqrt2-1)|x_n-\sqrt2|.$$

故为压缩，收敛到 $\sqrt2$。

例题 4：含根式迭代

设 $x_1=1$，

$$x_{n+1}=\sqrt{2+x_n}.$$

求 $\lim x_n$。

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先证有界：若 $x_n<2$，则 $x_{n+1}=\sqrt{2+x_n}<2$，且 $x_1=1<2$，故 $x_n<2$。 再证单调：

$$x_{n+1}\ge x_n \Longleftrightarrow 2+x_n\ge x_n^2 \Longleftrightarrow (x_n-2)(x_n+1)\le0,$$

对 $x_n\in(0,2)$ 成立，故递增有上界，收敛。 设极限为 $L$，

$$L=\sqrt{2+L}\Rightarrow L^2-L-2=0\Rightarrow L=2\ (\text{取正}).$$

例题 5：不动点稳定判定

设

$$x_{n+1}=x_n^2-2x_n+2=(x_n-1)^2+1,\quad x_1\in(0,2).$$

判断其极限行为。

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不动点方程

$$x=x^2-2x+2\Rightarrow (x-1)(x-2)=0.$$

故不动点为 $1,2$。令 $y_n=x_n-1$，则

$$y_{n+1}=y_n^2.$$

当 $x_1\in(0,2)$ 时，$|y_1|<1$，故 $y_n\to0$，即

$$x_n\to1.$$

所以 1 是该区间内的吸引不动点。

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三、配套练习（章节内）

练习 1（基础）

已知 $a_{n+1}=3a_n-2,\ a_1=2$，求 $a_n$。

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设 $b_n=a_n-1$，则 $b_{n+1}=3b_n,\ b_1=1$，

$$b_n=3^{n-1}\Rightarrow a_n=3^{n-1}+1.$$

练习 2（提高）

设 $x_1>0,\ x_{n+1}=\frac{2x_n+1}{x_n+2}$，求极限。

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设极限为 $L$：

$$L=\frac{2L+1}{L+2}\Rightarrow L^2=1.$$

因 $x_n>0$，取 $L=1$。可进一步由

$$x_{n+1}-1=\frac{x_n-1}{x_n+2}$$

得收敛到 1。

练习 3（提高）

求递推

$$a_{n+2}-5a_{n+1}+6a_n=0,\ a_1=1,\ a_2=5$$

的通项。

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特征方程 $(r-2)(r-3)=0$，

$$a_n=A2^n+B3^n.$$

由

$$2A+3B=1,\quad4A+9B=5$$

解得 $A=-1,\ B=1$，

$$a_n=3^n-2^n.$$

练习 4（挑战）

设 $x_1\in(0,1)$，$x_{n+1}=x_n(2-x_n)$，求 $\lim x_n$。

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有

$$x_{n+1}-x_n=x_n(1-x_n)>0,$$

故递增。且 $x_n<1$ 时

$$x_{n+1}=x_n(2-x_n)<1,$$

故有上界 1，故收敛。设极限 $L$：

$$L=L(2-L)\Rightarrow L=0\ \text{或}\ 1.$$

因递增且 $x_1>0$，取 $L=1$。