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Riemann-Stieltjes 积分

Riemann 积分虽然强大，但在处理离散与连续混合分布、或者函数在某些点处具有“阶跃”性质时显得捉襟见肘。Riemann-Stieltjes (R-S) 积分通过引入“控制函数” α(x)\alpha(x)，将积分从单纯的面积累加升华为一种更广义的测度累加。

一、 R-S 积分的严密定义​

1. Riemann 和定义 (The Riemann Sum Approach)​

设 f(x)f(x) 和 α(x)\alpha(x) 是定义在 [a,b][a, b] 上的有界函数。对于 [a,b][a, b] 的任一划分 P:a=x0<x1<⋯<xn=bP: a = x_0 < x_1 < \dots < x_n = b，在每个小区间 [xi−1,xi][x_{i-1}, x_i] 上任取一点 ξi\xi_i，作和式：

S(P,f,α)=∑i=1nf(ξi)[α(xi)−α(xi−1)]S(P, f, \alpha) = \sum_{i=1}^n f(\xi_i) [\alpha(x_i) - \alpha(x_{i-1})]

若当划分的模 λ(P)→0\lambda(P) \to 0 时，该和式的极限存在且与划分 PP 及 ξi\xi_i 的选取无关，则称 ff 关于 α\alpha 在 [a,b][a, b] 上是 Riemann-Stieltjes 可积的，记作 f∈R(α)f \in \mathcal{R}(\alpha)。

2. Darboux 和定义 (The Darboux Sum Approach)​

为了严谨判定可积性，我们引入上、下 Darboux-Stieltjes 和。设 α(x)\alpha(x) 在 [a,b][a, b] 上单调增加。令： Mi=sup⁡x∈[xi−1,xi]f(x)M_i = \sup_{x \in [x_{i-1}, x_i]} f(x), mi=inf⁡x∈[xi−1,xi]f(x)m_i = \inf_{x \in [x_{i-1}, x_i]} f(x)，Δαi=α(xi)−α(xi−1)\Delta \alpha_i = \alpha(x_i) - \alpha(x_{i-1})。

  • 上和：U(P,f,α)=∑MiΔαiU(P, f, \alpha) = \sum M_i \Delta \alpha_i
  • 下和：L(P,f,α)=∑miΔαiL(P, f, \alpha) = \sum m_i \Delta \alpha_i

上、下积分定义为： ∫ab‾fdα=inf⁡PU(P,f,α)\overline{\int_a^b} f d\alpha = \inf_{P} U(P, f, \alpha), ∫ab‾fdα=sup⁡PL(P,f,α)\underline{\int_a^b} f d\alpha = \sup_{P} L(P, f, \alpha)。

若二者相等，则称 f∈R(α)f \in \mathcal{R}(\alpha)。

二、 核心性质与判别准则​

1. 可积性的 Cauchy 准则​

定理：可积的充要条件

设 α\alpha 单调增加。f∈R(α)f \in \mathcal{R}(\alpha) 当且仅当对任意 ϵ>0\epsilon > 0，存在划分 PP 使得： U(P,f,α)−L(P,f,α)=∑i=1n(Mi−mi)Δαi<ϵU(P, f, \alpha) - L(P, f, \alpha) = \sum_{i=1}^n (M_i - m_i) \Delta \alpha_i < \epsilon

2. 存在性定理​

  • 定理 1 (连续性)：若 f∈C[a,b]f \in \mathcal{C}[a, b] 且 α\alpha 单调增加，则 f∈R(α)f \in \mathcal{R}(\alpha)。
    • 证明简述：利用 ff 在闭区间上的一致连续性，对任意 ϵ\epsilon，取 δ\delta 使得 Δxi<δ\Delta x_i < \delta 时振幅 ωi<ϵ/(α(b)−α(a))\omega_i < \epsilon / (\alpha(b)-\alpha(a))，则 ∑ωiΔαi<ϵ\sum \omega_i \Delta \alpha_i < \epsilon。
  • 定理 2 (单调性)：若 ff 单调且 α∈C[a,b]\alpha \in \mathcal{C}[a, b] 且单调，则 f∈R(α)f \in \mathcal{R}(\alpha)。
  • 定理 3 (不可积判定)：若 ff 与 α\alpha 在同一点 cc 处具有同侧不连续性，则 f∉R(α)f \notin \mathcal{R}(\alpha)。

三、 计算与转换公式​

1. 转换为 Riemann 积分 (Smooth Transformation)​

若 α(x)\alpha(x) 在 [a,b][a, b] 上可积且其导数 α′(x)\alpha'(x) 是 Riemann 可积的，则： ∫abf(x)dα(x)=∫abf(x)α′(x)dx\int_a^b f(x) d\alpha(x) = \int_a^b f(x) \alpha'(x) dx

2. 分部积分公式 (Integration by Parts)​

点击查看分部积分公式的推导

定理：若 f∈R(α)f \in \mathcal{R}(\alpha)，则 α∈R(f)\alpha \in \mathcal{R}(f)，且： ∫abfdα+∫abαdf=f(b)α(b)−f(a)α(a)\int_a^b f d\alpha + \int_a^b \alpha df = f(b)\alpha(b) - f(a)\alpha(a)

证明： 考虑划分 P:a=x0<x1<⋯<xn=bP: a=x_0 < x_1 < \dots < x_n=b 和介点 ξi∈[xi−1,xi]\xi_i \in [x_{i-1}, x_i]。 S(P,f,α)=∑i=1nf(ξi)[α(xi)−α(xi−1)]S(P, f, \alpha) = \sum_{i=1}^n f(\xi_i)[\alpha(x_i) - \alpha(x_{i-1})]。 利用恒等式 ∑ai(bi−bi−1)=anbn−a0b0−∑bi−1(ai−ai−1)\sum a_i(b_i - b_{i-1}) = a_n b_n - a_0 b_0 - \sum b_{i-1}(a_i - a_{i-1}) 进行变换： S(P,f,α)=f(b)α(b)−f(a)α(a)−∑i=1nα(xi−1)[f(ξi)−f(ξi−1)]S(P, f, \alpha) = f(b)\alpha(b) - f(a)\alpha(a) - \sum_{i=1}^n \alpha(x_{i-1})[f(\xi_i) - f(\xi_{i-1})] （此处需细化介点与端点的对应）。 当 λ(P)→0\lambda(P) \to 0 时，右侧求和项趋于 ∫αdf\int \alpha df。证毕。

四、 阶梯函数与测度论视角​

1. 阶梯函数积分公式​

若 α(x)\alpha(x) 是阶梯函数，在点 ck∈(a,b)c_k \in (a, b) 处有跳跃 sk=α(ck+)−α(ck−)s_k = \alpha(c_k^+) - \alpha(c_k^-)，且 ff 在 ckc_k 处连续，则： ∫abfdα=∑kf(ck)sk\int_a^b f d\alpha = \sum_k f(c_k) s_k

2. 概率论中的期望统一​

若 α(x)\alpha(x) 为随机变量 XX 的分布函数 F(x)F(x)，则 XX 的期望定义为： E[X]=∫−∞+∞xdF(x)E[X] = \int_{-\infty}^{+\infty} x dF(x) 这完美地将离散型（FF 为阶梯函数）和连续型（FF 可导）随机变量的期望公式合二为一。

五、 深度例题解析​

例题 1：多点跳跃的阶梯函数​

计算 ∫03x2d⌊x⌋\int_0^3 x^2 d\lfloor x \rfloor。

Details

点击查看解析 α(x)=⌊x⌋\alpha(x) = \lfloor x \rfloor 在 x=1,2,3x=1, 2, 3 处具有跳跃。注意 ⌊x⌋\lfloor x \rfloor 是右连续的。 在 x=1,2x=1, 2 时，Δα=1\Delta \alpha = 1。 在端点 x=3x=3 处，积分上限包含 x=3x=3。 ∫03x2d⌊x⌋=12⋅(α(1)−α(1−))+22⋅(α(2)−α(2−))+32⋅(α(3)−α(3−))\int_0^3 x^2 d\lfloor x \rfloor = 1^2 \cdot (\alpha(1)-\alpha(1^-)) + 2^2 \cdot (\alpha(2)-\alpha(2^-)) + 3^2 \cdot (\alpha(3)-\alpha(3^-)) =12⋅1+22⋅1+32⋅1=14= 1^2 \cdot 1 + 2^2 \cdot 1 + 3^2 \cdot 1 = 14。

例题 2：复合测度计算​

计算 ∫02xd(x2+⌊x⌋)\int_0^2 x d(x^2 + \lfloor x \rfloor)。

Details

点击查看解析 利用线性性质：∫xd(x2)+∫xd⌊x⌋\int x d(x^2) + \int x d\lfloor x \rfloor。

  1. ∫02x⋅(2x)dx=∫022x2dx=[23x3]02=163\int_0^2 x \cdot (2x) dx = \int_0^2 2x^2 dx = [\frac{2}{3}x^3]_0^2 = \frac{16}{3}。
  2. ∫02xd⌊x⌋=1⋅(⌊1⌋−⌊1−⌋)+2⋅(⌊2⌋−⌊2−⌋)=1⋅1+2⋅1=3\int_0^2 x d\lfloor x \rfloor = 1 \cdot (\lfloor 1 \rfloor - \lfloor 1^- \rfloor) + 2 \cdot (\lfloor 2 \rfloor - \lfloor 2^- \rfloor) = 1 \cdot 1 + 2 \cdot 1 = 3。 结果为 163+3=253\frac{16}{3} + 3 = \frac{25}{3}。

六、 配套练习​

  1. [基础] 计算 ∫04xd(⌊x⌋)\int_0^4 \sqrt{x} d(\lfloor x \rfloor)。
  2. [进阶] 设 α(x)=sin⁡x\alpha(x) = \sin x，计算 ∫0π/2xdα(x)\int_0^{\pi/2} x d\alpha(x) 并使用分部积分法验证。
  3. [理论] 证明：若 f∈R(α)f \in \mathcal{R}(\alpha) 且 α\alpha 满足 Lipschitz 条件（即 ∣α(x)−α(y)∣≤K∣x−y∣|\alpha(x)-\alpha(y)| \le K|x-y|），则 ∫abfdα\int_a^b f d\alpha 等价于某个 Riemann 积分。
  4. [挑战] 计算 ∫01xdα(x)\int_0^1 x d\alpha(x)，其中 α(x)\alpha(x) 是 Cantor 函数。
点击查看简要提示
  1. 答案：1+2+3+4=3+2+3\sqrt{1}+\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{4} = 3+\sqrt{2}+\sqrt{3}。
  2. 转换为 ∫0π/2xcos⁡xdx=[xsin⁡x]0π/2−∫sin⁡xdx=π/2−1\int_0^{\pi/2} x \cos x dx = [x \sin x]_0^{\pi/2} - \int \sin x dx = \pi/2 - 1。
  3. 提示：Lipschitz 条件蕴含 α\alpha 几乎处处可导且 α′∈L∞\alpha' \in L^\infty。
  4. 提示：Cantor 函数在 (0,1)(0, 1) 上导数几乎处处为 0，但它是连续的且 α(0)=0,α(1)=1\alpha(0)=0, \alpha(1)=1。利用分部积分：∫xdα=[xα]01−∫01α(x)dx\int x d\alpha = [x \alpha]_0^1 - \int_0^1 \alpha(x) dx。由于 Cantor 函数关于 (1/2,1/2)(1/2, 1/2) 中心对称，∫01α(x)dx=1/2\int_0^1 \alpha(x) dx = 1/2。故结果为 1−1/2=1/21 - 1/2 = 1/2。