无穷乘积与 Gamma 函数

在分析学中，无穷乘积是无穷级数的自然推广。

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一、 无穷乘积的敛散性理论

1. 基本定义

设 $P_N = \prod_{n=1}^N p_n$。若 $\lim_{N \to \infty} P_N = P$ 存在且 $P \neq 0$，则称 $\prod p_n$ 收敛。

2. 与对数级数的关系

定理：对数等价性

无穷乘积 $\prod (1 + a_n)$ 收敛（$a_n \neq -1$）当且仅当级数 $\sum \ln(1 + a_n)$ 收敛。

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设 $P_N = \prod_{n=1}^N (1 + a_n)$，$S_N = \sum_{n=1}^N \ln(1 + a_n)$。 由于 $P_N = \exp(S_N)$，且指数函数 $e^x$ 是连续且处处非零的。

1. 若 $S_N \to S$，则 $P_N \to e^S \neq 0$。
2. 若 $P_N \to P \neq 0$，取对数的主分支，由于 $P \neq 0$，$\ln P_N \to \ln P$ 成立（需注意辐角问题，但在实数范围内显然）。

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二、 绝对收敛与判别法

1. 绝对收敛

若 $\prod (1 + |a_n|)$ 收敛，则称 $\prod (1 + a_n)$ 绝对收敛。

核心定理

$\prod (1 + a_n)$ 绝对收敛的充要条件是级数 $\sum a_n$ 绝对收敛。

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利用不等式：当 $x \ge 0$ 时，$x \le \ln(1+x) \le x$（实际上是 $1+x \le e^x$）。 因此 $\sum |a_n|$ 与 $\sum \ln(1+|a_n|)$ 的部分和具有相同的有界性，从而敛散性一致。

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三、 特殊函数的乘积展开

1. Sine 函数的 Euler 展开

$\sin \pi x = \pi x \prod_{n=1}^\infty \left( 1 - \frac{x^2}{n^2} \right)$ 这是解决巴塞尔问题 ($\sum 1/n^2 = \pi^2/6$) 的金钥匙。

2. Gamma 函数的 Weierstrass 展开

$\frac{1}{\Gamma(z)} = ze^{\gamma z} \prod_{n=1}^\infty \left( 1 + \frac{z}{n} \right) e^{-z/n}$

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四、 深度例题解析

例题 1：条件收敛的判定

讨论 $\prod (1 + \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}})$ 的敛散性。

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考察级数 $\sum \ln(1 + \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}})$。 利用泰勒展开：$\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + O(x^3)$。 $\ln(1 + \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}) = \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}} - \frac{1}{2n} + O(n^{-3/2})$。

1. $\sum \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}$ 收敛（交错级数）。
2. $\sum \frac{1}{2n}$ 发散。 故对数级数发散至 $-\infty$，原乘积发散于 0。

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五、 配套练习

1. [基础] 计算 $\prod_{n=2}^\infty (1 - \frac{1}{n^2})$。
2. [理论] 证明：若 $a_n \ge 0$，则 $\prod (1+a_n)$ 与 $\sum a_n$ 同敛散。
3. [计算] 利用 $\sin x$ 的乘积展开计算 $\prod_{n=1}^\infty \frac{4n^2}{4n^2-1}$ (Wallis 乘积)。
4. [挑战] 证明 $\prod_{n=1}^\infty \frac{e^{1/n}}{1+1/n} = e^\gamma$。

点击查看简要提示

1. 结果：$1/2$。利用裂项消去。
2. 提示：利用 $1+x \le e^x$ 和 $1+x \ge 1+x$。
3. 提示：在 $\sin \pi x$ 公式中取 $x=1/2$。
4. 提示：取对数级数 $\sum (\frac{1}{n} - \ln(1+1/n))$，这正是 $\gamma$ 的定义式之一。