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级数展开与孤立奇点

解析函数的局部特性可以通过幂级数精确刻画。对于包含奇点的区域，Laurent 级数是不可或缺的分析工具。

一、Taylor 展开​

若 f(z)f(z) 在以 z0z_0 为圆心，RR 为半径的圆 DD 内解析，则 f(z)f(z) 可展开为 Taylor 级数： f(z)=∑_n=0∞an(z−z0)n,an=f(n)(z0)n!f(z) = \sum\_{n=0}^\infty a_n (z - z_0)^n, \quad a_n = \frac{f^{(n)}(z_0)}{n!} 该级数的收敛半径 RR 是从 z0z_0 到 f(z)f(z) 最近一个奇点的距离。

二、Laurent 展开​

若 f(z)f(z) 在环域 r<∣z−z0∣<Rr < |z - z_0| < R 内解析，则可展开为 Laurent 级数： f(z)=∑_n=−∞∞cn(z−z0)nf(z) = \sum\_{n=-\infty}^\infty c_n (z - z_0)^n 其中：

  • 正规部分：∑n=0∞cn(z−z0)n\sum_{n=0}^\infty c_n (z - z_0)^n（Taylor 型部分）。
  • 主要部分：∑n=1∞c−n(z−z0)n\sum_{n=1}^\infty \frac{c_{-n}}{(z - z_0)^n}（揭示奇点特性的关键）。

系数 cnc_n 计算公式： cn=12πi∮Cf(z)(z−z0)n+1 dzc_n = \frac{1}{2\pi i} \oint_C \frac{f(z)}{(z - z_0)^{n+1}} \, dz

三、孤立奇点的分类​

根据 Laurent 展开的主要部分，可将孤立奇点 z0z_0 分为三类：

| 类型 | 主要部分特征 | 性状 z→z0z \to z_0 | 示例 | | :----------------------- | :------------- | :----------------- | :-------------------------- | ----------- | ------------------------ | | 可去奇点 (Removable) | 全部为 0 | 极限存在 | sin⁡zz\frac{\sin z}{z} at z=0z=0 | | 极点 (Pole) | 有限项不为 0 | ∣f(z)∣→∞ | f(z) | \to \infty | 1zn\frac{1}{z^n} at z=0z=0 | | 本性奇点 (Essential) | 无限多项不为 0 | 极限不存在且无意义 | e1/ze^{1/z} at z=0z=0 |

Picard 大定理

在本性奇点 z0z_0 的任意小邻域内，f(z)f(z) 能够无限次地取到除一个值外的所有复数值。

🎯 经典练习​

练习 1：判定奇点类型​

判定 f(z)=ez−1z2f(z) = \frac{e^z - 1}{z^2} 在 z=0z = 0 处的奇点类型。

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展开 eze^z: f(z)=(1+z+z22!+… )−1z2=z+z22+…z2=1z+12+z6+…f(z) = \frac{(1 + z + \frac{z^2}{2!} + \dots) - 1}{z^2} = \frac{z + \frac{z^2}{2} + \dots}{z^2} = \frac{1}{z} + \frac{1}{2} + \frac{z}{6} + \dots 主要部分为 1z\frac{1}{z}（只有一项），故 z=0z=0 是 1 阶极点。

练习 2：环域展开​

将 f(z)=1z(z−1)f(z) = \frac{1}{z(z-1)} 在环域 0<∣z∣<10 < |z| < 1 内展开。

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f(z)=1z⋅1z−1=−1z⋅11−zf(z) = \frac{1}{z} \cdot \frac{1}{z-1} = -\frac{1}{z} \cdot \frac{1}{1-z} 利用几何级数 11−z=∑n=0∞zn\frac{1}{1-z} = \sum_{n=0}^\infty z^n: f(z)=−1z∑_n=0∞zn=−1z−1−z−z2−…f(z) = -\frac{1}{z} \sum\_{n=0}^\infty z^n = -\frac{1}{z} - 1 - z - z^2 - \dots 收敛范围为 0<∣z∣<10 < |z| < 1。