共形映射及其应用

共形映射（保角映射）是解析函数的几何表现。它将一个复杂的区域映射到一个简单的区域（如单位圆或上半平面），从而简化物理问题的求解。

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一、共形映射的定义

1. 几何特性

设 $w = f(z)$ 在 $z_0$ 处解析且 $f'(z_0) \neq 0$：

• 保角性：经过 $z_0$ 的两条曲线，其映射后的像曲线之间的夹角（大小和方向）保持不变。
• 伸缩率不变性：在 $z_0$ 的微小邻域内，所有方向的伸缩比例均为 $|f'(z_0)|$。

共形 (Conformal) 的充要条件

若 $f(z)$ 在区域 $D$ 内单叶（一一对应）且解析，则 $f(z)$ 是 $D$ 上的共形映射。

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二、分式线性变换 (Möbius Transformation)

$w = \frac{az + b}{cz + d}, \quad ad - bc \neq 0$

1. 核心性质

• 保圆性：将复平面上的圆（包括直线，视为半径无穷大的圆）映射为圆。
• 保交比性：四个点的交比在变换下保持不变。
• 对称点映射：将关于圆对称的点映射为关于像圆对称的点。

2. 三点决定唯一变换

给定 $z$ 平面上的三个不同点 $z_1, z_2, z_3$ 及其像点 $w_1, w_2, w_3$，可以唯一确定一个分式线性变换。

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三、典型区域映射

函数类型	映射效果	典型应用
指数函数 $e^z$	带状区域 $\to$ 角形区域	求解平行板间的电势
幂函数 $z^n$	角形区域 $\to$ 半平面	尖角附近的流场分析
儒可夫斯基变换 $z + 1/z$	圆外区域 $\to$ 翼型外区域	航空动力学理论基础

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🎯 经典练习

练习 1：求分式线性变换

求将上半平面 $\text{Im}\,z > 0$ 映射为单位圆 $|w| < 1$，且满足 $f(i) = 0$ 的变换。

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根据对称点性质，$z = i$ 的像点为 $w = 0$，则其关于实轴的对称点 $z = -i$ 的像点应为 $w = \infty$。 故变换形式为： $w = k \frac{z - i}{z + i}$ 由于边界映射到边界（实轴映射到单位圆），取 $z = 0$（在实轴上），则 $|w| = 1$： $|k \frac{0 - i}{0 + i}| = |k| \cdot 1 = 1 \implies |k| = 1$ 故满足条件的变换为 $w = e^{i\theta} \frac{z - i}{z + i}$。

练习 2：判定映射区域

函数 $w = z^2$ 将第一象限 $0 < \arg z < \pi/2$ 映射到哪里？

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令 $z = re^{i\theta}$，则 $w = r^2 e^{i2\theta}$。 当 $0 < \theta < \pi/2$ 时，$0 < 2\theta < \pi$。 故第一象限被映射到 上半平面 $\text{Im}\,w > 0$。