跳到主要内容

多项式插值：Lagrange 与 Newton 公式

插值问题的核心在于：给定 n+1n+1 个互异节点 x0,x1,…,xnx_0, x_1, \dots, x_n 及其对应的函数值 y0,y1,…,yny_0, y_1, \dots, y_n，寻找一个次数不超过 nn 的多项式 Pn(x)P_n(x)，使得： Pn(xi)=yi,i=0,1,…,n.P_n(x_i) = y_i, \quad i = 0, 1, \dots, n.

1. Lagrange 插值多项式​

Lagrange 插值的思想是将 Pn(x)P_n(x) 表示为基函数的线性组合。

1.1 基函数定义​

定义 Lagrange 插值基函数 li(x)l_i(x) 为一个 nn 次多项式，满足： li(xj)=δij={1,i=j0,i≠jl_i(x_j) = \delta_{ij} = \begin{cases} 1, & i=j \\ 0, & i \neq j \end{cases} 构造可得： li(x)=∏j=0,j≠inx−xjxi−xjl_i(x) = \prod_{j=0, j \neq i}^n \frac{x - x_j}{x_i - x_j}

1.2 插值多项式​

Ln(x)=∑i=0nyili(x)L_n(x) = \sum_{i=0}^n y_i l_i(x)

1.3 误差估计 (余项定理)​

定理：若 f(x)f(x) 在包含节点 [a,b][a, b] 的区间内有 n+1n+1 阶连续导数，则对于任意 x∈[a,b]x \in [a, b]，存在 ξ∈(a,b)\xi \in (a, b) 使得： Rn(x)=f(x)−Ln(x)=f(n+1)(ξ)(n+1)!ωn+1(x)R_n(x) = f(x) - L_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} \omega_{n+1}(x) 其中 ωn+1(x)=∏i=0n(x−xi)\omega_{n+1}(x) = \prod_{i=0}^n (x - x_i)。

2. Newton 插值多项式​

Lagrange 插值的缺点在于：增加新节点时，所有基函数均需重新计算。Newton 插值通过差商 (Divided Differences) 解决了这一问题。

2.1 差商定义​

  • 零阶差商：f[xi]=f(xi)f[x_i] = f(x_i)
  • 一阶差商：f[xi,xj]=f[xj]−f[xi]xj−xif[x_i, x_j] = \frac{f[x_j] - f[x_i]}{x_j - x_i}
  • k 阶差商：f[x0,x1,…,xk]=f[x1,…,xk]−f[x0,…,xk−1]xk−x0f[x_0, x_1, \dots, x_k] = \frac{f[x_1, \dots, x_k] - f[x_0, \dots, x_{k-1}]}{x_k - x_0}

2.2 Newton 插值公式​

Nn(x)=f[x0]+f[x0,x1](x−x0)+⋯+f[x0,…,xn]∏i=0n−1(x−xi)N_n(x) = f[x_0] + f[x_0, x_1](x - x_0) + \dots + f[x_0, \dots, x_n] \prod_{i=0}^{n-1} (x - x_i)

承袭性

Newton 插值具有很好的承袭性。若增加一个节点 xn+1x_{n+1}，只需在原有的 Nn(x)N_n(x) 基础上增加一项即可： Nn+1(x)=Nn(x)+f[x0,…,xn+1]ωn+1(x)N_{n+1}(x) = N_n(x) + f[x_0, \dots, x_{n+1}] \omega_{n+1}(x)

3. Runge 现象与高次插值的陷阱​

在等距节点下增加插值阶数，并不一定能提高逼近精度。

Runge 现象

对于函数 f(x)=11+25x2f(x) = \frac{1}{1 + 25x^2} 在 [−1,1][-1, 1] 上进行等距插值，当 n→∞n \to \infty 时，在区间边缘处插值多项式会出现剧烈的震荡。这启示我们：高次多项式插值并不总是可靠的，实际应用中常采用分段低次插值（如三次样条插值）。

4. 三次样条插值 (Cubic Spline Interpolation)​

为解决高次插值的 Runge 现象，样条插值采用分段低次多项式，并在节点处保证函数值及各阶导数的连续性。

4.1 定义​

设在 [a,b][a, b] 上给定节点 a=x0<x1<⋯<xn=ba = x_0 < x_1 < \dots < x_n = b，函数 S(x)S(x) 称为 f(x)f(x) 关于该划分的三次样条插值函数，如果：

  1. 在每个子区间 [xi−1,xi][x_{i-1}, x_i] 上，S(x)S(x) 是一个不高于 3 次的多项式；
  2. S(xi)=f(xi)S(x_i) = f(x_i) （插值条件）；
  3. S(x)S(x) 在整个区间 [a,b][a, b] 上二阶连续可微，即 S(x)∈C2[a,b]S(x) \in C^2[a, b]。

4.2 三弯矩方程 (Three-Moment Equation)​

设 Mi=S′′(xi)M_i = S''(x_i) 为第 ii 个节点处的二阶导数。由连续性条件可推导得关于 MiM_i 的三对角方程组： μiMi−1+2Mi+λiMi+1=di,i=1,2,…,n−1\mu_i M_{i-1} + 2M_i + \lambda_i M_{i+1} = d_i, \quad i = 1, 2, \dots, n-1 其中系数由步长 hi=xi−xi−1h_i = x_i - x_{i-1} 及差商决定。求解该方程组（通常使用 Thomas 算法）即可确定整个样条函数。

4.3 边界条件​

为了封闭方程组，需要额外的边界条件：

  • 自然边界条件 (Natural Spline)：S′′(a)=S′′(b)=0S''(a) = S''(b) = 0。
  • 固支边界条件 (Clamped Spline)：已知 S′(a)=f′(a),S′(b)=f′(b)S'(a) = f'(a), S'(b) = f'(b)。
  • 周期边界条件：S(k)(a)=S(k)(b),k=0,1,2S^{(k)}(a) = S^{(k)}(b), k=0, 1, 2。

4.4 收敛性与误差估计​

定理：若 f∈C4[a,b]f \in C^4[a, b]，且 h=max⁡hih = \max h_i，则三次样条插值满足： ∥f−S∥∞≤Ch4∥f(4)∥∞\|f - S\|_\infty \le C h^4 \|f^{(4)}\|_\infty 这意味着样条插值具有 O(h4)O(h^4) 的收敛阶，远优于分段线性插值的 O(h2)O(h^2)，且不会发生剧烈震荡。

✍️ 典型例题​

例 1：已知三个节点 (0, 1), (1, 2), (2, 5)，构造 Lagrange 插值多项式并求 L(0.5)。

解析：

  1. 构造基函数：
    • l0(x)=(x−1)(x−2)(0−1)(0−2)=12(x2−3x+2)l_0(x) = \frac{(x-1)(x-2)}{(0-1)(0-2)} = \frac{1}{2}(x^2 - 3x + 2)
    • l1(x)=(x−0)(x−2)(1−0)(1−2)=−(x2−2x)l_1(x) = \frac{(x-0)(x-2)}{(1-0)(1-2)} = - (x^2 - 2x)
    • l2(x)=(x−0)(x−1)(2−0)(2−1)=12(x2−x)l_2(x) = \frac{(x-0)(x-1)}{(2-0)(2-1)} = \frac{1}{2}(x^2 - x)
  2. 组合多项式： L2(x)=1⋅l0(x)+2⋅l1(x)+5⋅l2(x)=x2+1L_2(x) = 1 \cdot l_0(x) + 2 \cdot l_1(x) + 5 \cdot l_2(x) = x^2 + 1
  3. 计算： L2(0.5)=0.52+1=1.25L_2(0.5) = 0.5^2 + 1 = 1.25
例 2：计算三次样条插值的维度。

对于 n+1n+1 个节点，有 nn 个子区间。每个子区间对应一个 3 次多项式，共有 4n4n 个待定参数。 约束条件：

  • 插值条件：每个区间两端点，2n2n 个。
  • 一阶导数连续：n−1n-1 个内部节点，n−1n-1 个。
  • 二阶导数连续：n−1n-1 个内部节点，n−1n-1 个。 总约束数：2n+(n−1)+(n−1)=4n−22n + (n-1) + (n-1) = 4n - 2。 自由度：4n−(4n−2)=24n - (4n-2) = 2。因此需要 2 个边界条件来唯一确定。

🚀 专项训练​

前往 数值分析专题练习库 挑战更高难度的误差估计、Hermite 插值与样条弯矩方程计算题目。