跳到主要内容

Hilbert 空间：内积、正交性与算子基础

如果说 Banach 空间是现代分析的骨架，那么 Hilbert 空间就是它的灵魂。通过引入内积，我们不仅有了长度，还有了角度（正交性），这使得无限维空间在几何上与我们直观的欧氏空间极为相似。

一、内积空间与 Hilbert 空间​

1. 定义​

设 HH 为复线性空间。HH 上的 内积 ⟨⋅,⋅⟩:H×H→C\langle \cdot, \cdot \rangle: H \times H \to \mathbb{C} 满足正定性、共轭对称性与第一变元线性性。 定义范数 ∥x∥=⟨x,x⟩\|x\| = \sqrt{\langle x, x \rangle}。若 HH 关于此范数完备，则称其为 Hilbert 空间。

2. 重要不等式与恒等式​

  • Cauchy-Schwarz 不等式：∣⟨x,y⟩∣≤∥x∥∥y∥|\langle x, y \rangle| \le \|x\| \|y\|。
  • 平行四边形公式：∥x+y∥2+∥x−y∥2=2(∥x∥2+∥y∥2)\|x+y\|^2 + \|x-y\|^2 = 2(\|x\|^2 + \|y\|^2)。该公式是判定一个 Banach 空间是否为 Hilbert 空间的关键。

二、正交性与投影定理​

1. 正交分解​

若 ⟨x,y⟩=0\langle x, y \rangle = 0，称 xx 与 yy 正交，记作 x⊥yx \perp y。

2. 投影定理​

设 MM 是 Hilbert 空间 HH 的闭子空间。则对任意 x∈Hx \in H，存在唯一的 y∈My \in M 使得： ∥x−y∥=dist⁡(x,M).\|x - y\| = \operatorname{dist}(x, M). 此时 x−y∈M⊥x-y \in M^\perp，得到直和分解：H=M⊕M⊥H = M \oplus M^\perp。

三、Riesz 表示定理：对偶性的完美化身​

1. 定理陈述​

设 HH 是 Hilbert 空间。对于任意有界线性泛函 f∈X∗f \in X^*，存在唯一的 y∈Hy \in H 使得： f(x)=⟨x,y⟩,∀x∈H.f(x) = \langle x, y \rangle, \quad \forall x \in H. 且满足 ∥f∥=∥y∥\|f\| = \|y\|。 这表明 Hilbert 空间与其对偶空间 H∗H^* 是 共轭等距同构 的。这也说明 Hilbert 空间始终是自反的。

四、算子基础：伴随与特殊算子​

1. 伴随算子 (Adjoint Operator)​

设 T∈B(H)T \in \mathcal{B}(H)。存在唯一的 T∗∈B(H)T^* \in \mathcal{B}(H) 使得： ⟨Tx,y⟩=⟨x,T\*y⟩,∀x,y∈H.\langle Tx, y \rangle = \langle x, T^\*y \rangle, \quad \forall x, y \in H.

2. 特殊算子类​

  • 自伴算子 (Self-adjoint)：T=T∗T = T^*。
  • 正规算子 (Normal)：TT∗=T∗TTT^* = T^*T。
  • 酉算子 (Unitary)：TT∗=T∗T=ITT^* = T^*T = I。
  • 投影算子 (Projection)：P2=PP^2 = P 且 P=P∗P = P^*（正交投影）。

五、精选例题​

例 1：正交基的构造​

证明在可分 Hilbert 空间中，任何规范正交系都可以扩充为规范正交基。

点击查看解析
  1. 利用 Zorn 引理证明极大规范正交系的存在性。
  2. 证明极大规范正交系 {eα}\{e_\alpha\} 的张成空间在 HH 中稠密。
  3. 否则，存在 x≠0x \neq 0 且 x⊥eα,∀αx \perp e_\alpha, \forall \alpha, 这与极大性矛盾。

六、分层练习​

练习 1（算子范数计算）​

设 H=L2(0,1)H = L^2(0,1)，定义 Tx(t)=∫0tx(s) dsTx(t) = \int_0^t x(s) \, ds。求 T∗T^*.

点击查看过程
  1. ⟨Tx,y⟩=∫01(∫0tx(s)ds)y(t)‾dt\langle Tx, y \rangle = \int_0^1 (\int_0^t x(s) ds) \overline{y(t)} dt.
  2. 交换积分次序：∫01x(s)(∫s1y(t)‾dt)ds\int_0^1 x(s) (\int_s^1 \overline{y(t)} dt) ds.
  3. 故 T∗y(s)=∫s1y(t)dtT^*y(s) = \int_s^1 y(t) dt.

练习 2（投影算子判定）​

证明：线性算子 PP 是正交投影算子当且仅当 P2=PP^2 = P 且 ∥P∥=1\|P\| = 1 (当 P≠0P \neq 0)。

点击查看提示
  1. 必要性：正交投影显然满足 P2=P,P=P∗P^2=P, P=P^*, 且由勾股定理 ∥Px∥≤∥x∥\|Px\| \le \|x\|.
  2. 充分性：需证 P=P∗P = P^*。利用内积性质证明 ker⁡P⊥ran⁡P\operatorname{ker} P \perp \operatorname{ran} P.

七、章节衔接​