集合论：集合代数与基数

集合论是离散数学的基石。

1. 集合的基本概念

1.1 集合表示

• 列举法: $A = \{a, b, c\}$。
• 描述法: $B = \{x \in \mathbb{R} \mid x^2 - 1 = 0\}$。

1.2 集合包含与相等

• 包含: $A \subseteq B \iff \forall x (x \in A \to x \in B)$。
• 相等: $A = B \iff (A \subseteq B \land B \subseteq A)$。

1.3 幂集 (Power Set)

对于集合 $A$，其所有子集构成的集合称为 幂集 $\mathcal{P}(A)$。 若 $|A| = n$，则 $|\mathcal{P}(A)| = 2^n$。

2. 集合运算与性质

2.1 基本运算

• 并集: $A \cup B = \{x \mid x \in A \lor x \in B\}$。
• 交集: $A \cap B = \{x \mid x \in A \land x \in B\}$。
• 差集: $A \setminus B = \{x \mid x \in A \land x \notin B\}$。
• 补集: $A^c = \{x \in U \mid x \notin A\}$。

2.2 集合恒等式

1. 结合律: $(A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C)$。
2. 分配律: $A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)$。
3. 德·摩根律: $(A \cup B)^c = A^c \cap B^c$。

3. 经典例题

:::info 例题 1 (幂集) 设 $A = \{1, \{2, 3\}, \varnothing\}$，求 $\mathcal{P}(A)$。 :::

查看解析

$A$ 共有 3 个元素。$\mathcal{P}(A)$ 包含 $2^3 = 8$ 个元素： $\mathcal{P}(A) = \{ \varnothing, \{1\}, \{\{2, 3\}\}, \{\varnothing\}, \{1, \{2, 3\}\}, \{1, \varnothing\}, \{\{2, 3\}, \varnothing\}, A \}$。

:::info 例题 2 (集合包含关系证明) 证明：$A \cap (B \setminus C) = (A \cap B) \setminus C$。 :::

查看解析

$A \cap (B \setminus C) = \{x \mid x \in A \land (x \in B \land x \notin C)\}$ $= \{x \mid (x \in A \land x \in B) \land x \notin C\}$ $= (A \cap B) \setminus C$

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本章节由 SolKnow 系统根据经典离散数学教材重写。