竞赛几何：平移对称与最短路径构造

初中几何竞赛中，最短路径与轨迹问题常用三类构造：平移、轴对称与折线拉直。

一、核心知识点讲解

1. 折线拉直思想

• 两点间线段最短，折线最短问题可转化为“把拐点展开到同一直线”。
• 常见做法：把一段路径通过对称或平移变成直线段长度。

2. 轴对称构造最短路

• 若路径经过一条直线上的点，可把终点关于该直线对称。
• 原问题中“折线路径长度”=“对称后直线段长度”。
• 判定步骤：
  1. 识别必须经过某条边或某条直线；
  2. 对其中一端做轴对称；
  3. 连直线求交点，反推最优经过点。

3. 平移构造与等长替换

• 若题中出现平行线与等长线段，可将一个三角形平移到另一个位置。
• 通过平移保持长度和角度，常把“多段和”转为“单段长度”。

识别信号

题目出现“经过边界某点最短”“折线和最小”“平行且等长”时，优先尝试平移或对称构造，再用直线最短定结论。

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二、经典例题实战

例题 1：一条边上的最短路径

在平面内，点 $A,B$ 位于直线 $l$ 同侧。点 $P$ 在 $l$ 上变化，求 $AP+PB$ 的最小值。

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解析过程

1. 将点 $B$ 关于直线 $l$ 对称到点 $B'$。
2. 对任意 $P\in l$，有 $PB=PB'$，故

$AP+PB=AP+PB'.$

3. 因为 $A,P,B'$ 三点形成折线，最小值在三点共线时取得。
4. 最小值等于线段 $AB'$ 的长度，对应 $P$ 为直线 $AB'$ 与 $l$ 的交点。

答案

最小值为 $AB'$，其中 $B'$ 是 $B$ 关于 $l$ 的对称点。

例题 2：矩形边界最短路

矩形 $ABCD$ 中，$AB=8,BC=6$。点 $P$ 在边 $BC$ 上，求 $AP+PD$ 的最小值。

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解析过程

1. 设坐标：$A(0,0),B(8,0),C(8,6),D(0,6)$。
2. 点 $P$ 在直线 $x=8$ 上。将 $D$ 关于直线 $x=8$ 对称到 $D'(16,6)$。
3. 则 $PD=PD'$，故

$AP+PD=AP+PD'.$

4. 最小值为 $AD'$：

$AD'=\sqrt{16^2+6^2}=\sqrt{292}=2\sqrt{73}.$

答案

最小值为 $2\sqrt{73}$。

例题 3：平移等长替换

已知 $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{PQ}$，求证：$MP+NQ$ 的最小值为 $MQ$。

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解析过程

1. 由 $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{PQ}$，可知将点 $M$ 平移到 $N$ 的向量与将点 $P$ 平移到 $Q$ 的向量相同。
2. 因平移保持距离与方向，$NQ$ 可看作与 $MP$ 组成一条从 $M$ 到 $Q$ 的折线路径。
3. 任意折线长度不小于端点直线距离，故

$MP+NQ\ge MQ.$

4. 当四点共线且方向一致时取等。

答案

最小值为 $MQ$。

例题 4：经过定点的折线路径

点 $A(0,2),B(6,5)$，点 $P$ 在 $x$ 轴上，求 $AP+PB$ 的最小值。

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解析过程

1. 将点 $A$ 关于 $x$ 轴对称到 $A'(0,-2)$。
2. 对任意 $P$ 在 $x$ 轴上，有 $AP=A'P$，所以

$AP+PB=A'P+PB\ge A'B.$

3. 计算

$A'B=\sqrt{(6-0)^2+(5-(-2))^2}=\sqrt{36+49}=\sqrt{85}.$

4. 当 $P$ 为直线 $A'B$ 与 $x$ 轴交点时取到最小值。

答案

最小值为 $\sqrt{85}$。

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三、配套练习（点击展开答案）

练习 1

点 $A(1,3),B(7,1)$，点 $P$ 在 $x$ 轴上。求 $AP+PB$ 的最小值。

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过程

将 $A$ 关于 $x$ 轴对称为 $A'(1,-3)$，则最小值为 $A'B$：

$A'B=\sqrt{(7-1)^2+(1+3)^2}=\sqrt{36+16}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}.$

答案

$2\sqrt{13}$。

练习 2

矩形 $ABCD$ 中，$AB=5,BC=12$。点 $P$ 在边 $BC$ 上，求 $AP+PD$ 的最小值。

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过程

设 $A(0,0),B(5,0),C(5,12),D(0,12)$，将 $D$ 关于直线 $x=5$ 对称到 $D'(10,12)$。 最小值为

$AD'=\sqrt{10^2+12^2}=\sqrt{244}=2\sqrt{61}.$

答案

$2\sqrt{61}$。

练习 3

点 $A,B$ 在直线 $l$ 同侧，点 $P$ 在 $l$ 上。若 $B$ 关于 $l$ 的对称点为 $B'$，写出 $AP+PB$ 最小值表达式。

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过程

由 $PB=PB'$，

$AP+PB=AP+PB'\ge AB'.$

当 $P$ 为直线 $AB'$ 与 $l$ 的交点时取等。

答案

最小值为 $AB'$。

练习 4

点 $A(-2,4),B(4,1)$，点 $P$ 在直线 $y=0$ 上。求 $AP+PB$ 的最小值。

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过程

将 $A$ 关于 $y=0$ 对称到 $A'(-2,-4)$。 最小值为

$A'B=\sqrt{(4+2)^2+(1+4)^2}=\sqrt{36+25}=\sqrt{61}.$

答案

$\sqrt{61}$。