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模与域扩张

本章探讨模论 (Module Theory) 与域扩张 (Field Extensions)。模是向量空间的推广，而域扩张则是研究代数方程与对称性的核心工具。

1. 模论基础 (Module Theory) ​

1.1 定义​

设 RR 是一个含单位元的交换环。一个 RR-模 MM 是一个加法交换群，配备了一个标量乘法 R×M→MR \times M \to M，满足对任意 r,s∈Rr, s \in R 和 m,n∈Mm, n \in M：

  1. r(m+n)=rm+rnr(m+n) = rm + rn
  2. (r+s)m=rm+sm(r+s)m = rm + sm
  3. (rs)m=r(sm)(rs)m = r(sm)
  4. 1m=m1m = m

1.2 与向量空间的区别​

虽然模的定义与向量空间几乎一致，但由于环 RR 不一定是域，模具有更复杂的性质：

  • 并非所有模都有基：有基的模称为 自由模 (Free Module)。
  • 子模不一定是直和项：即 M=N⊕KM = N \oplus K 不一定对所有子模 NN 成立。
  • 存在零因子相关现象：例如在 Z\mathbb{Z}-模 Zn\mathbb{Z}_n 中，n⋅[1]=[0]n \cdot [1] = [0]。
PID 上的有限生成模

结构定理: 若 RR 是主理想整环 (PID)，则任何有限生成 RR-模 MM 都可以分解为自由部分与扭部分的直和： M≅Rr⊕R/(a1)⊕⋯⊕R/(ak)M \cong R^r \oplus R/(a_1) \oplus \dots \oplus R/(a_k) 其中 a1∣a2∣⋯∣aka_1 \mid a_2 \mid \dots \mid a_k。这是线性代数中 Jordan 标准形 的代数本质。

2. 域扩张基础 (Field Extensions) ​

2.1 定义与扩张次数​

若 F⊆KF \subseteq K 且两者均为域，则称 KK 为 FF 的 扩张域 (Extension Field)。

  • 扩张次数: KK 作为 FF-向量空间的维数，记为 [K:F][K:F]。
  • 代数元素: 若 α∈K\alpha \in K 是某个非零多项式 f(x)∈F[x]f(x) \in F[x] 的根，则称 α\alpha 为 代数元。其满足的最低次首一多项式称为 最小多项式 mα,F(x)m_{\alpha, F}(x)。

2.2 单代数扩张​

由单个元素 α\alpha 生成的扩张 F(α)F(\alpha)。若 α\alpha 是代数元且最小多项式次数为 nn，则 [F(α):F]=n[F(\alpha):F] = n，且 {1,α,…,αn−1}\{1, \alpha, \dots, \alpha^{n-1}\} 是其一组基。

3. 分裂域与正规扩张 ​

3.1 分裂域 (Splitting Field)​

设 f(x)∈F[x]f(x) \in F[x]。若在扩张域 KK 中，f(x)f(x) 可分解为一次因式的乘积，且 KK 由 FF 与 f(x)f(x) 的所有根生成，则称 KK 为 f(x)f(x) 在 FF 上的 分裂域。

3.2 正规扩张 (Normal Extension)​

若代数扩张 K/FK/F 使得 KK 中任何不可约多项式只要有一个根在 KK 中，则其所有根都在 KK 中，称 K/FK/F 为正规扩张。

4. 可分扩张与 Galois 扩张 ​

4.1 可分扩张 (Separable Extension)​

若 K/FK/F 中每个元素的最小多项式都没有重根，则称其为可分扩张。在特征为 0 的域（如 Q,R\mathbb{Q}, \mathbb{R}）上，所有扩张都是可分的。

4.2 Galois 扩张​

若有限扩张 K/FK/F 既是正规的又是可分的，则称其为 Galois 扩张。

5. Galois 理论基本定理 ​

设 K/FK/F 是 Galois 扩张，G=Gal⁡(K/F)G = \operatorname{Gal}(K/F) 是其 Galois 群（即所有保持 FF 不变的 KK 的自同构构成的群）。

基本定理内容: 在 K/FK/F 的 中间域 EE (F⊆E⊆KF \subseteq E \subseteq K) 与 GG 的 子群 HH 之间存在一一对应关系：

  1. E⟷Gal⁡(K/E)E \longleftrightarrow \operatorname{Gal}(K/E)。
  2. H⟷KHH \longleftrightarrow K^H（HH 保持不变的元素集合）。
  3. 扩张次数关系: [K:E]=∣H∣[K:E] = |H|，[E:F]=[G:H][E:F] = [G:H]。
  4. 正规性: E/FE/F 是正规扩张   ⟺  Gal⁡(K/E)⊴G\iff \operatorname{Gal}(K/E) \trianglelefteq G。

6. 有限域构造 (Finite Fields) ​

6.1 有限域的结构​

任何有限域 F\mathbb{F} 的元素个数必为 pnp^n（其中 pp 为素数，n∈Z+n \in \mathbb{Z}^+）。

  • 特征: 有限域的特征必为素数 pp。
  • 构造: Fpn\mathbb{F}_{p^n} 可以构造为 xpn−xx^{p^n} - x 在 Fp\mathbb{F}_p 上的分裂域。
  • 同构意义: 对给定的 pnp^n，有限域在同构意义下是唯一的。

6.2 商环构造法​

若 f(x)∈Fp[x]f(x) \in \mathbb{F}_p[x] 是 nn 次不可约多项式，则商环： Fpn≅Fp[x]/(f(x))\mathbb{F}_{p^n} \cong \mathbb{F}_p[x] / (f(x)) 其元素可表示为 an−1xn−1+⋯+a1x+a0(modf(x))a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_1x + a_0 \pmod{f(x)}，共 pnp^n 个。

7. 经典例题​

:::info 例题 1 (扩张次数计算) 求 f(x)=x3−2f(x) = x^3-2 在 Q\mathbb{Q} 上的分裂域 KK 及其扩张次数 [K:Q][K:\mathbb{Q}]。 :::

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  1. 求根: x3−2x^3-2 的根为 23,23ω,23ω2\sqrt[3]{2}, \sqrt[3]{2}\omega, \sqrt[3]{2}\omega^2，其中 ω=ei2π/3\omega = e^{i2\pi/3}。
  2. 构造分裂域: K=Q(23,ω)K = \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}, \omega)。
  3. 计算次数:
    • [Q(23):Q]=3[\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}):\mathbb{Q}] = 3（最小多项式为 x3−2x^3-2）。
    • 由于 ω\omega 满足 x2+x+1=0x^2+x+1=0，且在实域 Q(23)\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}) 上无根，故 [K:Q(23)]=2[K:\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})] = 2。
    • 由乘法公式 [K:Q]=3×2=6[K:\mathbb{Q}] = 3 \times 2 = 6。

:::info 例题 2 (有限域构造) 构造 4 元域 F4\mathbb{F}_4。 :::

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  1. 选择不可约多项式: 在 F2[x]\mathbb{F}_2[x] 中，寻找 2 次不可约多项式。
    • x2,x2+1=(x+1)2,x2+x=x(x+1)x^2, x^2+1=(x+1)^2, x^2+x = x(x+1) 均可约。
    • x2+x+1x^2+x+1 在 x=0,1x=0,1 时均不为 0，故在 F2\mathbb{F}_2 上不可约。
  2. 商环构造: F4=F2[x]/(x2+x+1)\mathbb{F}_4 = \mathbb{F}_2[x] / (x^2+x+1)。
  3. 元素集合: {0,1,α,α+1}\{0, 1, \alpha, \alpha+1\}，其中 α\alpha 是 xx 的等价类，满足 α2=α+1\alpha^2 = \alpha+1。

8. 强化练习​

:::info 练习 1 (最小多项式) 求 2+3\sqrt{2} + \sqrt{3} 在 Q\mathbb{Q} 上的最小多项式。 :::

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令 x=2+3  ⟹  x2=2+3+26=5+26x = \sqrt{2} + \sqrt{3} \implies x^2 = 2 + 3 + 2\sqrt{6} = 5 + 2\sqrt{6}。   ⟹  x2−5=26  ⟹  (x2−5)2=24\implies x^2 - 5 = 2\sqrt{6} \implies (x^2 - 5)^2 = 24。   ⟹  x4−10x2+25=24  ⟹  x4−10x2+1=0\implies x^4 - 10x^2 + 25 = 24 \implies x^4 - 10x^2 + 1 = 0。 可以验证该多项式在 Q\mathbb{Q} 上不可约，故 m(x)=x4−10x2+1m(x) = x^4 - 10x^2 + 1。

:::info 练习 2 (有限域逆元) 在 F8≅F2[x]/(x3+x+1)\mathbb{F}_8 \cong \mathbb{F}_2[x]/(x^3+x+1) 中，求 α2\alpha^2 的乘法逆元。 :::

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我们需要找 g(α)g(\alpha) 使得 α2⋅g(α)≡1(modα3+α+1)\alpha^2 \cdot g(\alpha) \equiv 1 \pmod{\alpha^3+\alpha+1}。 使用扩展欧几里得算法或观察法： 已知 α3=α+1\alpha^3 = \alpha+1。 则 α2⋅α=α3=α+1\alpha^2 \cdot \alpha = \alpha^3 = \alpha+1。 α2⋅(α+1)=α3+α2=α2+α+1\alpha^2 \cdot (\alpha+1) = \alpha^3 + \alpha^2 = \alpha^2+\alpha+1。 α2⋅(α2+1)=α4+α2=α(α+1)+α2=α2+α+α2=α\alpha^2 \cdot (\alpha^2+1) = \alpha^4 + \alpha^2 = \alpha(\alpha+1) + \alpha^2 = \alpha^2+\alpha+\alpha^2 = \alpha。 注意到 α(α2+1)=α3+α=(α+1)+α=1\alpha(\alpha^2+1) = \alpha^3+\alpha = (\alpha+1)+\alpha = 1。 所以 α−1=α2+1\alpha^{-1} = \alpha^2+1。 那么 (α2)−1=(α−1)2=(α2+1)2=α4+1=α(α+1)+1=α2+α+1(\alpha^2)^{-1} = (\alpha^{-1})^2 = (\alpha^2+1)^2 = \alpha^4+1 = \alpha(\alpha+1)+1 = \alpha^2+\alpha+1。 验证: α2(α2+α+1)=α4+α3+α2=(α2+α)+(α+1)+α2=α+1+1=1(mod2)\alpha^2(\alpha^2+\alpha+1) = \alpha^4+\alpha^3+\alpha^2 = (\alpha^2+\alpha)+(\alpha+1)+\alpha^2 = \alpha+1+1 = 1 \pmod{2}。 故逆元为 α2+α+1\alpha^2+\alpha+1。

本章节由 SolKnow 高级计算代数系统生成。