整式方程 (Polynomial Equations)

方程是描述客观世界数量关系的有力数学模型。从一元一次方程到一元二次方程，其解法展现了代数的核心逻辑。

1. 一元一次方程 (Linear Equations)

形式为 $ax + b = 0 \quad (a \neq 0)$ 的方程。

• 解法：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1。

常见错误

去分母时，方程中不含分母的项 也必须乘以 最小公倍数，且分子如果是多项式应加上括号。

2. 一元二次方程 (Quadratic Equations)

形式为 $ax^2 + bx + c = 0 \quad (a \neq 0)$ 的方程。

2.1 解法

1. 开平方法：直接利用平方根定义。
2. 因式分解法：将方程化为 $(x-x_1)(x-x_2) = 0$。
3. 配方法：通过配方将方程变形为 $(x+m)^2 = n$ 的形式。
4. 求根公式 (Quadratic Formula)： $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

2.2 根的判别式 (Discriminant)

设 $\Delta = b^2 - 4ac$：

• $\Delta > 0$：方程有两个不相等的实数根。
• $\Delta = 0$：方程有两个相等的实数根。
• $\Delta < 0$：方程没有实数根。

3. 韦达定理 (Vieta's Formulas)

若 $x_1, x_2$ 是一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$ 的两根，则： $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$ $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

韦达定理的应用

不解方程求两根之和、两根之积，或构造已知两根的新方程。

4. 启发式练习

练习 1：解方程 $x^2 - 5x + 6 = 0$

解析： 利用十字相乘法进行因式分解： $(x-2)(x-3) = 0$ 因此，$x_1 = 2, x_2 = 3$。

练习 2：已知 $x^2 - 3x + 1 = 0$ 的两根为 $x_1, x_2$，求 $x_1^2 + x_2^2$ 的值

解析： 根据韦达定理： $x_1 + x_2 = 3$ $x_1 x_2 = 1$

$$\begin{aligned} x_1^2 + x_2^2 &= (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2 \\ &= 3^2 - 2(1) \\ &= 9 - 2 = 7 \end{aligned}$$

练习 3：若关于 $x$ 的方程 $x^2 + 2x + k = 0$ 有实数根，求 $k$ 的取值范围

解析： 方程有实数根，则判别式 $\Delta \ge 0$。

$$\begin{aligned} 2^2 - 4(1)(k) &\ge 0 \\ 4 - 4k &\ge 0 \\ k &\le 1 \end{aligned}$$

注意：当 $\Delta = 0$ 时也是有实数根的（重根）。