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三角函数 (Trigonometry)

三角函数是研究三角形边角关系及周期现象的基础。

任意角的三角函数​

在单位圆中，角 α\alpha 的终边与圆的交点为 (x,y)(x, y)：

  • sin⁡α=y\sin \alpha = y
  • cos⁡α=x\cos \alpha = x
  • tan⁡α=yx\tan \alpha = \frac{y}{x}

核心公式库​

  1. 同角基本关系：sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1。
  2. 诱导公式：奇变偶不变，符号看象限。
  3. 两角和差公式：
    • sin⁡(α±β)=sin⁡αcos⁡β±cos⁡αsin⁡β\sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta
    • cos⁡(α±β)=cos⁡αcos⁡β∓sin⁡αsin⁡β\cos(\alpha \pm \beta) = \cos\alpha\cos\beta \mp \sin\alpha\sin\beta
  4. 二倍角公式：
    • sin⁡2α=2sin⁡αcos⁡α\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha
    • cos⁡2α=cos⁡2α−sin⁡2α=2cos⁡2α−1=1−2sin⁡2α\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1 = 1 - 2\sin^2\alpha
解题秘籍

看到 1±cos⁡α1 \pm \cos \alpha，优先考虑使用二倍角公式进行 降幂 或 升幂 变换。

正弦定理与余弦定理​

  • 正弦定理：asin⁡A=bsin⁡B=csin⁡C=2R\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R。
  • 余弦定理：a2=b2+c2−2bccos⁡Aa^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A。