跳到主要内容

金融数学

金融数学提供量化分析金融问题的数学工具，涵盖时间价值、风险度量、衍生品定价等核心内容。

时间价值计算​

基本公式体系​

计算类型公式应用场景
单笔现值PV=FV(1+r)nPV = \frac{FV}{(1+r)^n}未来现金流折现
单笔终值FV=PV×(1+r)nFV = PV \times (1+r)^n当前投资未来价值
年金现值PV=PMT×1−(1+r)−nrPV = PMT \times \frac{1-(1+r)^{-n}}{r}债券定价、贷款计算
年金终值FV=PMT×(1+r)n−1rFV = PMT \times \frac{(1+r)^n-1}{r}储蓄计划、养老金
永续年金PV=PMTrPV = \frac{PMT}{r}优先股、永久债券
增长永续年金PV=PMTr−gPV = \frac{PMT}{r-g}戈登增长模型

有效年利率​

不同复利频率下的实际年利率：

EAR=(1+rm)m−1EAR = \left(1 + \frac{r}{m}\right)^m - 1

其中 mm 为每年复利次数。

连续复利： FV=PV×er×tFV = PV \times e^{r \times t}

收益率度量​

指标公式特点
持有期收益率HPR=P1−P0+DP0HPR = \frac{P_1 - P_0 + D}{P_0}单期总回报
算术平均Rˉ=1n∑Ri\bar{R} = \frac{1}{n}\sum R_i简单平均，高估长期收益
几何平均Rˉg=[∏(1+Ri)]1/n−1\bar{R}_g = [\prod(1+R_i)]^{1/n} - 1复利平均，更准确
年化收益率(1+Rtotal)1/n−1(1+R_{total})^{1/n} - 1跨期比较

实际收益率（费雪方程精确版）： rreal=1+rnominal1+π−1r_{real} = \frac{1+r_{nominal}}{1+\pi} - 1

风险度量​

基础统计量​

指标公式金融含义
方差σ2=1n−1∑(Ri−Rˉ)2\sigma^2 = \frac{1}{n-1}\sum(R_i - \bar{R})^2收益波动程度
标准差σ=σ2\sigma = \sqrt{\sigma^2}风险的常用度量
年化波动率σannual=σdaily×252\sigma_{annual} = \sigma_{daily} \times \sqrt{252}跨期比较
协方差σij=Cov(Ri,Rj)\sigma_{ij} = Cov(R_i, R_j)两资产联动程度
相关系数ρij=σijσiσj\rho_{ij} = \frac{\sigma_{ij}}{\sigma_i \sigma_j}标准化联动程度

系统性风险指标​

Beta 系数： βi=Cov(Ri,Rm)Var(Rm)\beta_i = \frac{Cov(R_i, R_m)}{Var(R_m)}

Beta 值风险特征
β=1\beta = 1与市场同步波动
β>1\beta > 1激进型，波动大于市场
β<1\beta < 1防御型，波动小于市场
β=0\beta = 0无系统性风险
β<0\beta < 0与市场反向波动

Jensen's Alpha： α=Rp−[Rf+β(Rm−Rf)]\alpha = R_p - [R_f + \beta(R_m - R_f)]

正的 α\alpha 表示超额收益能力。

下行风险度量​

指标定义特点
半方差只考虑低于目标的收益波动仅惩罚下行
下行标准差半方差的平方根索提诺比率分母
最大回撤从峰值到谷底的最大跌幅投资者最痛指标

风险调整收益指标​

指标公式特点
夏普比率Rp−Rfσp\frac{R_p - R_f}{\sigma_p}总风险调整
特雷诺比率Rp−Rfβp\frac{R_p - R_f}{\beta_p}系统风险调整
索提诺比率Rp−Rfσd\frac{R_p - R_f}{\sigma_d}仅惩罚下行波动
信息比率Rp−Rbσ跟踪误差\frac{R_p - R_b}{\sigma_{跟踪误差}}主动管理能力
卡尔马比率年化收益最大回撤\frac{年化收益}{最大回撤}回撤调整

VaR 与 CVaR​

风险价值 (VaR)： 在给定置信水平 (1−α)(1-\alpha) 下，最大可能损失。

计算方法：

  • 历史模拟法： 基于历史数据分位数
  • 参数法： 假设正态分布
  • 蒙特卡洛模拟： 随机模拟路径

预期损失 (CVaR/ES)： 超过VaR阈值后的平均损失，比VaR更能反映尾部风险。

CVaR=E[X∣X≤VaR]CVaR = E[X | X \leq VaR]

衍生品定价数学​

Black-Scholes 模型​

看涨期权定价公式： C=S×N(d1)−K×e−rT×N(d2)C = S \times N(d_1) - K \times e^{-rT} \times N(d_2)

看跌期权定价公式： P=K×e−rT×N(−d2)−S×N(−d1)P = K \times e^{-rT} \times N(-d_2) - S \times N(-d_1)

其中： d1=ln⁡(S/K)+(r+σ2/2)TσTd_1 = \frac{\ln(S/K) + (r + \sigma^2/2)T}{\sigma\sqrt{T}}

d2=d1−σTd_2 = d_1 - \sigma\sqrt{T}

参数说明：

参数含义
SS标的资产现价
KK行权价
TT到期时间（年）
rr无风险利率
σ\sigma波动率
N(⋅)N(\cdot)标准正态分布累积函数

希腊字母​

希腊字母定义含义公式（看涨）
Delta (Δ\Delta)∂V∂S\frac{\partial V}{\partial S}股价变动1单位，期权价格变动N(d1)N(d_1)
Gamma (Γ\Gamma)∂2V∂S2\frac{\partial^2 V}{\partial S^2}Delta的变化率N′(d1)SσT\frac{N'(d_1)}{S\sigma\sqrt{T}}
Theta (Θ\Theta)∂V∂t\frac{\partial V}{\partial t}时间衰减（每日）复杂公式
Vega∂V∂σ\frac{\partial V}{\partial \sigma}波动率变化1%，期权价格变动STN′(d1)S\sqrt{T}N'(d_1)
Rho (ρ\rho)∂V∂r\frac{\partial V}{\partial r}利率变化1%，期权价格变动KTe−rTN(d2)KTe^{-rT}N(d_2)

二叉树模型​

风险中性定价原理： 在风险中性世界里，所有资产的期望收益率都等于无风险利率。

单期二叉树：

        Su (上涨)
       ╱
   S ──
       ╲
        Sd (下跌)

风险中性概率： p=erΔt−du−dp = \frac{e^{r\Delta t} - d}{u - d}

期权定价： C=e−rΔt×[p×Cu+(1−p)×Cd]C = e^{-r\Delta t} \times [p \times C_u + (1-p) \times C_d]

隐含波动率​

从期权市场价格反推出的波动率。

微笑与偏斜：

  • 波动率微笑： 深度实值和虚值期权波动率较高
  • 波动率偏斜： 往往向下倾斜（投资者对下跌对冲需求）

固定收益数学​

债券定价​

P=∑t=1nC(1+y)t+F(1+y)nP = \sum_{t=1}^{n} \frac{C}{(1+y)^t} + \frac{F}{(1+y)^n}

其中 CC 为票息，FF 为面值，yy 为到期收益率。

久期与凸性​

麦考利久期： DMac=∑t=1nt×PV(CFt)PD_{Mac} = \frac{\sum_{t=1}^{n} t \times PV(CF_t)}{P}

修正久期： DMod=DMac1+yD_{Mod} = \frac{D_{Mac}}{1+y}

价格变动近似： ΔPP≈−DMod×Δy\frac{\Delta P}{P} \approx -D_{Mod} \times \Delta y

凸性调整： ΔPP≈−DMod×Δy+12×Convexity×(Δy)2\frac{\Delta P}{P} \approx -D_{Mod} \times \Delta y + \frac{1}{2} \times Convexity \times (\Delta y)^2

利率期限结构​

即期利率与远期利率关系： (1+s2)2=(1+s1)(1+f1,2)(1+s_2)^2 = (1+s_1)(1+f_{1,2})

f1,2=(1+s2)21+s1−1f_{1,2} = \frac{(1+s_2)^2}{1+s_1} - 1

拔靴法 (Bootstrapping)： 从平价债券收益率推导即期利率曲线。

延伸阅读​