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概率论练习题 (Probability Exercises)

本练习库包含随机变量分布、数字特征及极限定理的相关练习，均配套折叠答案。

1. 离散型随机变量​

:::info 习题 1.1 设 XX 服从参数为 pp 的几何分布 P(X=k)=(1−p)k−1pP(X=k) = (1-p)^{k-1}p。证明其具有无记忆性：即 P(X>n+m∣X>n)=P(X>m)P(X > n+m | X > n) = P(X > m)。 :::

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首先计算 P(X>k)P(X > k)： P(X>k)=∑i=k+1∞(1−p)i−1p=p(1−p)k∑j=0∞(1−p)j=p(1−p)k11−(1−p)=(1−p)kP(X > k) = \sum_{i=k+1}^\infty (1-p)^{i-1}p = p(1-p)^k \sum_{j=0}^\infty (1-p)^j = p(1-p)^k \frac{1}{1-(1-p)} = (1-p)^k 于是： P(X>n+m∣X>n)=P(X>n+m,X>n)P(X>n)=P(X>n+m)P(X>n)=(1−p)n+m(1−p)n=(1−p)mP(X > n+m | X > n) = \frac{P(X > n+m, X > n)}{P(X > n)} = \frac{P(X > n+m)}{P(X > n)} = \frac{(1-p)^{n+m}}{(1-p)^n} = (1-p)^m 而 P(X>m)=(1−p)mP(X > m) = (1-p)^m。得证。

2. 连续型随机变量与数字特征​

:::info 习题 2.1 设 X∼U(0,a)X \sim U(0, a)，求 E(Xn)E(X^n)。 :::

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E(Xn)=∫0axn1a dx=1a[1n+1xn+1]0a=ann+1E(X^n) = \int_0^a x^n \frac{1}{a} \, dx = \frac{1}{a} \left[ \frac{1}{n+1} x^{n+1} \right]_0^a = \frac{a^n}{n+1}

:::info 习题 2.2：联合分布与独立性 设二维随机变量 (X,Y)(X, Y) 的联合密度函数为： f(x,y)={c(x+y),0<x<1,0<y<10,其他f(x, y) = \begin{cases} c(x+y), & 0 < x < 1, 0 < y < 1 \\ 0, & \text{其他} \end{cases}

  1. 求常数 cc；
  2. 求 X,YX, Y 的边缘密度函数；
  3. 判断 X,YX, Y 是否独立。 :::
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1. 求常数 cc： 利用归一化条件 ∫−∞∞∫−∞∞f(x,y) dxdy=1\int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty f(x, y) \, dx dy = 1： ∫01∫01c(x+y) dxdy=c∫01[12x2+xy]01 dy=c∫01(12+y) dy\int_0^1 \int_0^1 c(x+y) \, dx dy = c \int_0^1 \left[ \frac{1}{2}x^2 + xy \right]_0^1 \, dy = c \int_0^1 (\frac{1}{2} + y) \, dy =c[12y+12y2]01=c(1)=1  ⟹  c=1= c \left[ \frac{1}{2}y + \frac{1}{2}y^2 \right]_0^1 = c(1) = 1 \implies c = 1

2. 边缘密度函数： fX(x)=∫01(x+y) dy=[xy+12y2]01=x+12,0<x<1f_X(x) = \int_0^1 (x+y) \, dy = [xy + \frac{1}{2}y^2]_0^1 = x + \frac{1}{2}, \quad 0 < x < 1 同理，fY(y)=y+12,0<y<1f_Y(y) = y + \frac{1}{2}, \quad 0 < y < 1

3. 独立性判断： 由于 fX(x)fY(y)=(x+12)(y+12)=xy+12x+12y+14≠x+y=f(x,y)f_X(x) f_Y(y) = (x+\frac{1}{2})(y+\frac{1}{2}) = xy + \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}y + \frac{1}{4} \neq x+y = f(x, y)。 因此 X,YX, Y 不独立。

3. 极限定理与特征函数​

:::info 习题 3.1：特征函数的计算 设 XX 服从参数为 λ\lambda 的泊松分布 P(X=k)=e−λλkk!P(X=k) = e^{-\lambda} \frac{\lambda^k}{k!}。求 XX 的特征函数 ϕX(t)\phi_X(t)。 :::

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特征函数定义为 ϕX(t)=E(eitX)\phi_X(t) = E(e^{itX})： ϕX(t)=∑k=0∞eitke−λλkk!=e−λ∑k=0∞(λeit)kk!\phi_X(t) = \sum_{k=0}^\infty e^{itk} e^{-\lambda} \frac{\lambda^k}{k!} = e^{-\lambda} \sum_{k=0}^\infty \frac{(\lambda e^{it})^k}{k!} 利用指数级数展开 ex=∑xnn!e^x = \sum \frac{x^n}{n!}： ϕX(t)=e−λeλeit=eλ(eit−1)\phi_X(t) = e^{-\lambda} e^{\lambda e^{it}} = e^{\lambda(e^{it}-1)}

:::info 习题 3.2：中心极限定理 (CLT) 的应用 某工厂生产的零件合格率为 0.9。现有 100 个零件，求其中合格零件数在 85 到 95 之间的概率。 :::

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设 XX 为合格零件数，X∼B(100,0.9)X \sim B(100, 0.9)。 E(X)=100×0.9=90E(X) = 100 \times 0.9 = 90。 Var(X)=100×0.9×0.1=9Var(X) = 100 \times 0.9 \times 0.1 = 9。 利用 CLT，X≈N(90,9)X \approx N(90, 9)： P(85≤X≤95)=P(85−903≤X−903≤95−903)P(85 \le X \le 95) = P\left(\frac{85-90}{3} \le \frac{X-90}{3} \le \frac{95-90}{3}\right) =P(−1.67≤Z≤1.67)=Φ(1.67)−Φ(−1.67)=2Φ(1.67)−1= P(-1.67 \le Z \le 1.67) = \Phi(1.67) - \Phi(-1.67) = 2\Phi(1.67) - 1 查表可知 Φ(1.67)≈0.9525\Phi(1.67) \approx 0.9525。 P≈2×0.9525−1=0.905P \approx 2 \times 0.9525 - 1 = 0.905。

4. 数值模拟与验证练习 ​

:::info 习题 4.1：[数值] 伯恩斯坦多项式与一致收敛 利用大数定律，证明对于 [0,1][0,1] 上的连续函数 f(x)f(x)，伯恩斯坦多项式 Bn(x)=∑k=0nf(k/n)(nk)xk(1−x)n−kB_n(x) = \sum_{k=0}^n f(k/n) \binom{n}{k} x^k (1-x)^{n-k} 在 [0,1][0,1] 上一致收敛于 f(x)f(x)。并编写 C++ 程序模拟该收敛过程。 :::

点击查看 C++ 参考实现与解析

解析：伯恩斯坦多项式的构造本质上是基于二项分布 B(n,x)B(n, x) 的期望。Bn(x)=E[f(Xn/n)]B_n(x) = E[f(X_n/n)]，其中 Xn∼B(n,x)X_n \sim B(n, x)。根据大数定律，Xn/n→PxX_n/n \xrightarrow{P} x，由 ff 的连续性（在闭区间上一致连续）可推导出一致收敛。

#include <iostream>
#include <vector>
#include <cmath>
#include <iomanip>

// 目标函数 f(x) = sin(PI * x)
double f(double x) {
    return std::sin(M_PI * x);
}

// 计算组合数 C(n, k)
double combinations(int n, int k) {
    if (k < 0 || k > n) return 0;
    if (k == 0 || k == n) return 1;
    if (k > n / 2) k = n - k;
    double res = 1;
    for (int i = 1; i <= k; ++i) {
        res = res * (n - i + 1) / i;
    }
    return res;
}

// 计算第 n 阶伯恩斯坦多项式在 x 处的值
double bernstein(int n, double x) {
    double res = 0;
    for (int k = 0; k <= n; ++k) {
        double term = f((double)k / n) * combinations(n, k) * std::pow(x, k) * std::pow(1 - x, n - k);
        res += term;
    }
    return res;
}

int main() {
    double x_test = 0.5;
    std::cout << "Approximating sin(PI * 0.5) = 1.0" << std::endl;
    std::cout << "n\tBernstein(n, 0.5)\tError" << std::endl;
    
    int n_values[] = {5, 10, 20, 50, 100};
    for (int n : n_values) {
        double val = bernstein(n, x_test);
        std::cout << n << "\t" << std::fixed << std::setprecision(6) 
                  << val << "\t\t" << std::abs(val - 1.0) << std::endl;
    }
    return 0;
}

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